Analysis: Kann man "von vorne rein" sagen, ob der Extrempunkt HOP oder TIP ist?
Hallo liebe Community,
wenn ich in der Analysis einen Graphen gegeben habe, rechne ich ja mit der 1. Ableitung = 0 den Extrempunkt aus. Jetzt ist die Frage, ob man mit dem Ergebnis sagen kann, ob hier ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt (ohne den Graphen zu zeichnen usw.).
Ich habe mir's folgendermaßen gedacht: Wenn ich zwei Extrempunkte ausgerechnet habe, so muss ja logischerweise der Punkt mit dem höhere y-Wert der Hochpunkt sein und der mit dem niedrigeren y-Wert der Tiefpunkt sein.
Wie verhält es sich aber, wenn ich nur eine Extremstelle habe? Dann kann ich doch eigentlich gar nicht mit meinem x-Wert und y-Wert sagen, ob das ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
(Zur Vervollständigung: Es geht um folgende Aufgabe:)
Dankeschön!
3 Antworten
Wenn die Steigung gleich Null ist, heißt das noch nicht, dass an dieser Stelle ein Extrempunkt vorliegt! Dazu muss die 2. Ableitung ungleich Null sein. Und am Wert der 2. Ableitung kann man dann ablesen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
Klassisches Beispiel: f(x)=x³ : hier ist die erste Ableitung bei x=0 Null, aber da die 2. Ableitung dort auch Null ist und erst die 3. Ableitung ungleich Null, ist bei x=0 kein Extrempunkt sondern ein Wendepunkt.
"Etwas unmathematischer" kannst Du prüfen, was an einer möglichen Extremstelle tatsächlich vorliegt, indem Du die Funktionswerte unmittelbar links und rechts dieser möglichen Extremstelle berechnest...
Sehe ich zumindest bei quadratischen Funktionen direkt, ob ein HOP oder TIP vorliegt?
Hast es selbst erkannt? Das Vorzeichen vom x² zeigt, ob die Parabel nach oben (+) oder nach unten (-) offen ist. Ist sie nach oben offen, dann kann der Scheitelpunkt nur der Tiefpunkt sein (Hochpunkt entsprechend, wenn sie nach unten offen ist).
Ein lokales Extremum kann da sein, wo die 1. Ableitung = 0 ist.
Wenn die 2. Ableitung > 0 ist, ist es ein Tiefpunkt,
bei < 0 ein Hochpunkt.
Bei quadratischen Funktionen sieht man
sofort, ob sie einen Hoch- oderTiefpunkt haben.
Dankeschön Tannibi, meine Frage ist jetzt, wo sehe ich das bei quadratischen Funktionen? Ich kann mich dran erinnern, dass unser Lehrer etwas sagte wie "bei dieser Funktion sieht man sofort, was TIP und HOP ist, weil ... und größerer y-Wert ist HOP und niedriger y-Wert ist TIP".
Kannst du mir das bitte erklären, woran ich das sehe?
Eine quadratische Funktion hat immer genau ein
Extremum. Wenn der Koeffizient von x² negativ ist,
ist es ein Hochpunkt, wenn er positiv ist, ein Tiefpunkt.
Dankeschön :) Bei dieser Aufgabe kann ich es aber nicht genau sagen, oder? Weil ich habe ja hier neben dem e² noch eine e^x Funktion dabei
Klar, das gilt nur für ganzrationale quadratische Funktionen.
Die Annahme, bei zwei Extremwerten müsse der eine ein Maximum und der andere ein Minimum sein, ist falsch. Beispiel : zwei unterschiedlich hohe Berge auf einem konstant tiefen Tal.
Ein Extremwert bei x liegt vor, wenn f'(x) = 0 gilt.
Gilt außerdem f''(x) < 0, liegt bei x ein relatives Maximum.
Gilt außerdem f''(x) > 0, liegt bei x ein relatives Minimum.
Danke Rammstein, an die 2 Berge habe ich gar nicht gedacht. Ich habe mir mögliche Steigungen und Senkungen von Graphen aufgezeichnet und gedacht, wenn ich bsp. 2 Hochpunkte habe, muss ich ja zumindest zwingend einen 3., Tiefpunkt haben. Wenn der Graph aber so verläuft, wie du es sagst, also:
_____/^\_____ /^\______ - dann stimmt es ja tatsächlich, deshalb bin ich mit meiner Annahme falsch, danke für die Aufklärung!
Sehe ich zumindest bei quadratischen Funktionen direkt, ob ein HOP oder TIP vorliegt?
Wenn die Parabel nach oben / unten geöffnet ist, kann sie nur ein Minimum / Maximum haben.
Passt :)