Was bedeutet es wenn f''(x⁰)=0 ist wenn man die Extrempunkte bestimmt?
Wenn f''(x⁰)>0 ist es ja ein tiefpunkt und bei < ein hochpunkt . Was ist aber dann bei =0
Sattelpunkt ist ja f'(x⁰)=0 also kann es das ja auch nicht sein
1 Antwort
Wenn f"(x_0) = 0, dann kann an der Stelle x = x_0 ein Wendepunkt (dazu zählen auch Sattelpunkte, z. B. bei f(x) = x³) sein. Es kann aber auch ein Extremum sein, z. B. bei g(x) = x⁴.
Begründung:
Links und rechts der Stelle x = x_0 kann die zweite Ableitung größer oder kleiner null sein. Geometrisch gilt dann
Fall 1: links, rechts > 0 => Tiefpunkt
Fall 2: links, rechts < 0 => Hochpunkt
Fall 3: links, rechts ungleiche Vorzeichen => Sattelpunkt
Um ein Sattel- oder Extrempunkt handelt es sich dann, wenn die erste Ableitung null ist. Um ein Wendepunkt - der kein Sattelpunkt ist - handelt es sich dann, wenn die erste Ableitung ungleich null ist.
Begründung:
Fall 1: f'(x_0) = 0 => siehe oben (im Falle eines Wendepunktes handelt es sich dann um ein Sattelpunkt)
Fall 2: f'(x_0) ≠ 0 => siehe oben (kann kein Extremum Wendepunkt, der kein Sattelpunkt ist)