Wie funktioniert diese Funktionenschar-Aufgabe in Mathe?
Hallo liebe Gutefrage.net-Community!
Mir wurde in der Schule(Mathe Leistungskurs,12.Klasse)eine ziemich komplizierte Hausaufgabe aufgegeben.
..Gegeben ist der Funktionenschar fk(t)=0.5t^3 -1.5kt^2+6kt-6t+50 (k ;Element alle reelen Zahlen)
a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Extrempunkte in Abhängigkeit von k.
Dabei habe ich die 1.und 2. Ableitung gebildet!
1.Ableitung: fk´(t)=1.5t^2-3kt+6k-6
2.Ableitung: fk´´(t)=3t-3k
notw.Bed: fk´(t)=0
Ergebnis. t1=2k-2 t2=2
hinr.Bed. fk´(t)=0 und fk´´(t) ungleich 0
Ich habe 2k-2 in die 2.Ableitung gesetzt und bekam 3k-6 raus
Das ist ein Tiefpunkt!
Und 2 in die 2.Ableitung eingesetzt und bekam 6-3k raus
Das ist ein Hochpunkt
Habe auch die Fallunterscheidungen gemacht
Jedoch verstehe ich nicht,wenn ich 2 und 2k-2 in die Ausgangsfunktion einsetze ,wie man auf die Ergebnisse kommt.
Laut einigen soll beim Tiefpunkt (2k-2 /-2k^3+12k^2-18k+58) rauskommen
und beim Hochpunkt (2/ 6k+42)
Bei mir kommt ein komplett anderes Ergebnis raus.Könnte mir jemand den Rechenweg veranschaulichen?
b)Für welche Werte von k liegt der Tiefpunkt des Graphen unterhalb der x-Achse?(Taschenrechnerzeichen)
Wie muss ich hier vorgehen?
Ich bedanke mich schonmal im voraus
Lg
3 Antworten
Erste und zweite Ableitung ok.
t1 = 2k - 2 und t2 = 2 ok
Die beiden Extrempunkte
P_E1 (2 │6k + 42) und P_E2 (2k – 2│-2k³ + 12k² – 18k + 58)
kann ich bestätigen.
t eingesetzt in die zweite Ableitung ergibt (3k – 6) bzw. (6 – 3k).
Woher weißt Du, dass der eine ein Tiefpunkt ist und der andere ein Hochpunkt?
Hier ist doch eine Fallunterscheidung notwendig, da die zweite Ableitung in beiden Fällen, abhängig von k kleiner oder größer oder gleich 0 sein kann.
Für b) muss nur der y-Wert von P_E untersucht werden. Für welches k wird y < 0.
P_E1 (2 │6k + 42) und P_E2 (2k – 2│-2k³ + 12k² – 18k + 58) sind die beiden Extrempunkte. Ich habe P_E geschrieben, weil ich gleichzeitig beide Punkte ansprechen wollte. Man muss untersuchen, wann (6k + 42) kleiner als 0 wird und wann (-2k³ + 12k² – 18k + 58) kleiner als 0 wird. Hierbei muss gleichzeitig berücksichtigt werden, für welche Werte von k überhaupt ein Tiefpunkt vorliegt (siehe auch Beitrag von Willy).
Hallo,
die Nullstellen der ersten Ableitung liegen bei 2k-2 und bei 2, das ist schon mal richtig.
Die zweite Ableitung hast Du auch richtig:
f''k(t)=3t-3k
Wenn Du anstelle von t den Term 2k-2 einsetzt, bekommst Du 3k-6 heraus.
Für k>2 bekommst Du ein positives Ergebnis, also Tiefpunkt.
Für k<2 wird das Ergebnis negativ, also Hochpunkt.
Für k=2 kommt 0 heraus, also Sattelpunkt.
Bei der anderen Nullstelle gehst Du entsprechend vor.
Herzliche Grüße,
Willy
dann verrechnest du dich wohl beim Einsetzen;
2 eingesetzt, ergibt
4 - 6k + 12k -12 + 50 =
6k + 42
--------------------------
und 2k+2 eingesetzt
0,5(2k+2)³-1,5k(2k+2)²+6k(2k+2) - 6(2k+2) + 50
Klammern lösen usw
Habe es in meinem Heft auch so geschrieben ups:-)
Dankeschön