Funktionenscharen?

Eine Funktionenschar ist for aE[ R \0 ]gegeben durch fa(x)=ax^3+x^2-x/a

a) Zeige, daß jede zugehörige Parabel genau drei Schnittpunkte mit der x-Achse hat,

b) Zeige, daß jede Parabel genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat. Bestimme diese Punkte

Answer 1

[gauss58]

a)

fa(x) = a * x³ + x² - (x / a)

Linearfaktordarstellung:

Also x ausklammern und pq-Formel anwenden:

fa(x) = x * ( x + (1 / (2 * a)) + (1 / (2 * a)) * √5) * ( x + (1 / (2 * a)) - (1 / (2 * a)) * √5)

b)

Erste Ableitung bilden und mögliche Kandidaten für Extrema abhängig von a bestimmen:

x_E1 = 1 / (3 * a) ; x_E2 = -1 / a

Zweite Ableitung bilden und feststellen, dass x_E1 ein Minimum und x_E2 ein Maximum ist.