Zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion?
Ist diese Behauptung wahr oder falsch? „Besitzt eine ganzrationale Funktion vierten Grades genau zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt, so ist der Graph ihrer zweiten Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel.“
3 Antworten
Hallo,
die zweite Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Für zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt brauchst Du eine Funktion 4. Grades, die vor x^4 einen negativen Wert hat, denn sie kommt aus dem Keller und geht wieder in den Keller, hat also für x gegen minus und plus unendlich den Grenzwert minus unendlich.
Der negative Koeffizient bleibt auch bei der ersten Ableitung vor dem x^3 und bei der zweiten vor dem x^2 erhalten.
Herzliche Grüße,
Willy
Diese Behauptung ist falsch. Unten in den Kommentaren ist die Korrektur.
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat die allgemeine Form:
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Die Anzahl der Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion hängt von der Anzahl der Nullstellen ihrer ersten Ableitung ab. Wenn eine ganzrationale Funktion vierten Grades genau zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt hat, bedeutet das, dass ihre erste Ableitung genau drei Nullstellen hat. Dies kann in der Regel durch das Lösen der Gleichung f'(x) = 0 festgestellt werden.
Die zweite Ableitung f''(x) einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist eine nach unten geöffnete Parabel, da der höchste Exponent des Polynoms in diesem Fall 2 ist. Das bedeutet, dass die zweite Ableitung immer positiv ist und daher eine nach oben geöffnete Parabel ist.
Also ist die Behauptung wahr: Wenn eine ganzrationale Funktion vierten Grades genau zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt hat, ist der Graph ihrer zweiten Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel.
Aber warum muss der Leitkoeffizient der zweiten Ableitung zwangsläufig positiv sein? Könnte die Parabel nicht ebenso nach unten geöffnet sein?
Stimmt, du hast völlig Recht. Ich habe mich getäuscht. Der Leitkoeffizient der zweiten Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades kann tatsächlich positiv oder negativ sein, abhängig von den Koeffizienten der ursprünglichen Funktion.
Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion vierten Grades lautet:
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Die zweite Ableitung f''(x) dieser Funktion lautet:
f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c
Der Leitkoeffizient in der zweiten Ableitung ist 12a. Wenn dieser Koeffizient positiv ist (a > 0), dann ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn der Koeffizient negativ ist (a < 0), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
genau zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt hat, bedeutet das, dass ihre erste Ableitung genau zwei Nullstellen hat.
Drei Nullstellen.
Die zweite Ableitung f''(x) ... ist eine nach unten geöffnete Parabel. ... Das bedeutet, dass die zweite Ableitung immer positiv ist und daher eine nach oben geöffnete Parabel ist.
Das widerspricht sich.
Hallo,
die Behauptung ist falsch.
Ein Gegenbeispiel:
https://www.desmos.com/calculator/xwlvstknis
🤓
Ergänzung: Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion f(x) = -x^4 + 2x^3 + 3x² - 5x.