Ganzrationale Funktion dritten Grades mit einer Extremstelle?

4 Antworten

https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt

Denke dir mal x². Diese Funktion hat genau eine Nullstelle in 0. Aber die Stammfunktion, sagen wir  hat einen Sattelpunkt, da die erste Ableitung, aber auch die zweite Ableitung 0 ist.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Lehramtsstudierende in den Fächern Mathematik und Informatik

Damit es eine Extremstelle ist, muss die Ableitung an dieser Stelle die X-Achse schneiden, also einen Vorzeichenwechsel haben. Das ist z.B. dann der Fall, wenn f'' an dieser Stelle ungleich Null ist (hinreichendes Kriterium)

In diese Fall hast du einen Sattelpunkt, d.h. die Ableitung ist zwar an der Stelle = 0 (notwendiges Kriterium für eine Extremstelle), aber es geht links runter und rechts rauf (oder umgekehrt). Bei einem (lokalen) Extrempunkt geht es entweder auf beiden Seiten runter oder auf beiden Seiten rauf.

Bsp.: f(x) = x³ hat einen Sattelpunkt bei x=0

Hallo,

wenn das Ding nur eine Extremstelle haben sollte, müßte die erste Ableitung eine doppelte Nullstelle haben, also die Form f'(x)=a*(x+b)² mit der doppelten Nullstelle bei -b.

Die zweite Ableitung lautet dann f''(x)=2a*(x+b) nach der Faktor-, Potenz- und Kettenregel.

Setzt Du für x die doppelte Nullstelle der ersten Ableitung, nämlich -b ein, wird auch die zweite Ableitung gleich Null.

Es liegt mithin ein Sattelpunkt und kein Extremum vor.

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann nicht nur ein Extremum haben.

Herzliche Grüße,

Willy

Nein. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat entweder keine oder zwei Extrema.

Was möchtest Du wissen?