kann eine funktion 3ten grades einen tiefpunkt haben,der höher liegt als ihr hochpunkt?

Nein. Dies ist nicht möglich.

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Betrachtet man eine beliebige ganzrationale Funktion 3-ten Grades, so ist die erste Ableitung eine ganzrationale Funktion 2-ten Grades. Die Ableitung hat demnach höchstens 2 Nullstellen. Die Ableitung kann demnach höchstens 2-mal ihr Vorzeichen wechseln.

1. Fall: Die Ableitung hat keine reelle Nullstelle.

In diesem Fall hat die Funktion 3-ten Grades keine Extremstelle.

2. Fall: Die Ableitung hat genau eine (doppelte) reelle Nullstelle.

Auch in diesem Fall hat die Funktion 3-ten Grades keine Extremstelle.

3. Fall: Die Ableitung hat zwei reelle Nullstellen.

Dann wechselt die Ableitung an den Nullstellen der Ableitung ihr Vorzeichen. Es gibt zwei Unterfälle ...

3.1. Fall: Die Ableitung wechselt von positiv zu negativ zu positiv

In diesem Fall hat man bei der Funkton 3-ten Grades zunächst einen Anstieg, bis die erste Nullstelle der Ableitung erreicht ist. Danach einen Abfall, bis die zweite Nullstelle der Ableitung erreicht ist. Danach einen Anstieg.

Bei der ersten Nullstelle der Ableitung hat dann die Funktion 3-ten Grades einen Hochpunkt. Bei der zweiten Nullstelle der Ableitung hat dann die Funktion 3-ten Grades einen Tiefpunkt.

Zwischen den beiden Nullstellen der Ableitung ist die Ableitung dann negativ. Die Funktion 3-ten Grades fällt in diesem Fall im entsprechenden Bereich zwischen den beiden lokalen Extrempunkten. Demnach liegt der Tiefpunkt tatsächlich bei einem kleineren Funktionswert als der Hochpunkt.

3.2. Fall: Die Ableitung wechselt von negativ zu positiv zu negativ

In diesem Fall hat man bei der Funkton 3-ten Grades zunächst einen Abfall, bis die erste Nullstelle der Ableitung erreicht ist. Danach einen Anstieg, bis die zweite Nullstelle der Ableitung erreicht ist. Danach einen Abfall.

Bei der ersten Nullstelle der Ableitung hat dann die Funktion 3-ten Grades einen Tiefpunkt. Bei der zweiten Nullstelle der Ableitung hat dann die Funktion 3-ten Grades einen Hochpunkt.

Zwischen den beiden Nullstellen der Ableitung ist die Ableitung dann positiv. Die Funktion 3-ten Grades steigt in diesem Fall im entsprechenden Bereich zwischen den beiden lokalen Extrempunkten. Demnach liegt der Hochpunkt tatsächlich bei einem größeren Funktionswert als der Tiefpunkt.

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Fazit: Wenn es bei einer ganzrationalen Funktion 3-ten Grades lokale Extrempunkte gibt, so liegt der Tiefpunkt bei einem kleineren Funktionswert als der Hochpunkt.

Nein. Der (einzige) Hochpunkt muss ja entweder
rechts oder links vom Tiefpunkt liegen, und bis
dahin geht es vom Tiefpunkt nur "bergauf".

Also grundsätzlich gibt es Funktionen, die einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben, wo der Tiefpunkt höher als der Hochpunkt liegt. Aber für ganzrationale Funktionen 3. Grades ist das nicht möglich.