Verkettung von linearen Funktionen

Ich habe die beiden linearen Funktionen

f: IR->IR mit f(x) = ax+b     , mit a ungleich 1

g: IR->IR mit g(x) = cx +d   , mit c ungleich 1 und a, b, c, d Element IR

Jetzt soll ich zeigen, dass genau dann, wenn die beiden Graphen von g und f sich auf der ersten Winkelhalbierenden x=y schneiden, f°g = g°f ist.

Meine erste Überlegung ist es, dass ich f(x) mit g(x) gleichsetzte:

f(x) = g(x)

=> ax+b = cx + d

Aber jetzt steh ich irgendwie auf dem Schlauch? Ist dieser Ansatz so richtig, oder habe ich etwas nicht bedacht?

Answer 1

[Hyde4]

Also du sollst zeigen, dass f°g = g°f, also:

f(g(x)) = g(f(x))

a(cx+d)+b = c(ax+b)+d

ad+b=bc+d ist dann also die Bedingung.

Wenn die beiden y=x schneiden, gilt:

x = ax+b und x = cx+d

=> x = b/(1-a) und x = d/(1-c) und beide sollen ja auch noch sich gegenseitig schneiden, also

b/(1-a) = d/(1-c)

b(1-c) = d(1-a)

b-cb = d-da

ad+b = bc +d , also ist die Bedingung von oben erfüllt. q.e.d.

(Du müsstest es eventuell andersrum schreiben, also von der Bedingung ausgehend rückwärts zu dem Schneiden^^, dann macht es mehr Sinn)

Comments

[lks72]

Egal, man braucht ja eh beide Richtungen, da eine Äquivalenz bewiesen werden soll. 

 

Answer 2

[emaxba123]

http://www.gutefrage.net/frage/beweis-zur-verkettung-zweier-linearer-funktionen

Comments

[Hyde4]

Ist derselbe Ansatz aber nicht ganz das Gesuchte.