Wohldefinierte Abbildungen...?

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Wohldefiniertheit liegt vor, wenn ein Element nicht auf zwei unterschiedliche Elemente abgebildet wird.

also wäre x -> 3y wohldefiniert aber x² -> y nicht?

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@Lonka11

Wohldefiniertheit betrachtet man normalerweise da, wo unklar ist, ob überhaupt eine Abbildung vorliegt.

Das ist mir oft in der Algebra begegnet, wo man einige skurille Abbildungen definiert.

In welchem Kontext stellst du diese Frage? Hast du vielleicht ein Bsp?

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@Kungfukuh

Also, ich möchte meine erste Aussage zur Wohldefiniertheit verdeutlichen.

Eine Abbildung f: X-->Y ist wohldefiniert, falls für ein Paar x, x* mit x = x* folgt, dass auch f(x) = f(x*) gilt.

Es gibt einfach einige Abbildungen, wo Elemente x selbst sich aus anderen Elementen zusammensetzen, und dass es unklar wird, ob aus x=y auch f(x) = f(y) folgern kann.

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@Kungfukuh

ok, also ich habe hier drei Abbildungen bei denen ich zeigen muss, dass sie wohldefiniert sind.

Es seinen: X = {1,2, ... , 10}, Y = {1, ..., 6} f : X -> Y und f(x): { x/2 für x e X gerade I (x+1)/2 für X ungerade

und jetzt zeigen, dass f(x) wohldefiniert ist...

Also ich kann sagen f(x) ist wohldefiniert, wenn für alle x e X genau ein y e Y existiert, oder? Aber wie zeige ich das jetzt?

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@Kungfukuh

Ok, hier ein gutes Beispiel:

betrachte die Abbildung f: Q-->Z, a/b-->a, wo Q=rationale Zahlen und Z=ganze Zahlen. a/b steht für die rationale Zahl, die sich bekanntlich als Bruch von zwei ganzen Zahlen schreiben lässt. Die Abbildung bildet eine rationale Zahl auf ihren Zähler ab. Betrachten wir zwei Zahlen x=1/2 und x''=2/4. Diese beiden Zahlen sind in Q gleich, das heißt x=x'', aber sie setzen sich aus unterschiedlichen Zahlen zusammen (wie ich das oben geschrieben habe), deshalb ist es unklar, ob das Bild der beiden auch gleich sein wird. Der Zähler von 1/2 ist 1, der von 2/4 ist 2. Das bedeutet, die Zahl 1/2 = 2/4 wird sowohl auf 1 als auch auf 2 abgebildet. Deshalb ist diese Abbildung nicht wohldefiniert.

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@Lonka11

Also ich kann sagen f(x) ist wohldefiniert, wenn für alle x e X genau ein y e Y existiert, oder? Aber wie zeige ich das jetzt?

genauer formuliert: für alle x=x'' muss folgen: f(x) = f(x'')

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@Kungfukuh

ok, das habe ich verstanden, danke! Ich weiß jetzt, dass mein f(x) wohldefiniert ist, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das aufschreibe...

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@Kungfukuh

wir das nicht durch dieses spiegelverkehrte E ! ausgedrückt? Das steht doch für "genau ein" , oder?

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@Lonka11

nun, ich würde sagen:

jeder Wert ist entweder gerade oder ungerade, also wird jeder Wert lediglich nach einer der beiden Vorschriften abgebildet.

Die zuständige Vorschrift bildet das Element eindeutig ab.

Also wird jedes Element eindeutig abgebildet.

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@Lonka11

in dieser Definition ist das E-Zeichen überflüssig.

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@Lonka11

Du erklärst das alles so schön.. Ich frag dich jetzt einfach mal, ob du mir noch erklären kannst, was ein Urbild ist?

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@Kungfukuh

ohje, ich habe mich schon gar nicht mehr getraut bei mathematischen Problemen Wikipedia zu fragen ... :-D

also wäre bei X -> Y mit x² -> y für Y={4} die Urmenge X = {-2;2} ?

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@Lonka11

kommt darauf an, was man für X und Y definiert.

Falls X,Y=Reelle Zahlen, dann wäre das Urbild von 4 die Menge {-2;2}.

Würde man "X=positive reelle Zahlen " definieren, würde das Urbild von 4 lediglich das Element 2 sein.

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@Kungfukuh

uff bist du schlau :-D

Also: VIELEN VIELEN DANK !!! Du hast mir wirklich wirklich geholfen! Ich wäre sonst wirklich verzweifelt und du hast mir das so erklärt, dass ich es sogar verstehe ;-)

Sobald es geht (also in 24 Stunden) gebe ich dir das Sternchen!! Wenn ich könnte, würde ich dir drei geben !

Danke nochmal!

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Eine Funktion ist erst einmal "nur" eine Relation zwischen zwei Mengen, welche rechtseindeutig und linkstotal ist. Diese Rechtseindeutigkeit nennt man auch gerne mal Wohldefiniertheit. Sie besagt, dass eine Funktion ein und dasselbe Element der Definitionsmenge auch nur auf ein und dasselbe Element in der Bildmenge werfen darf.

Wohldefiniertheit muss man besonders oft zeigen, wenn es um Quotienten von Gruppen geht oder um Operationen auf Äquivalenzrelationen. Ich will dir ein Beispiel geben:

Man lernt in der Schule, dass der Bruch 1/2 dasselbe ist wie 2/4. Man kann also alle diese Brüche, die das Ergebnis 0.5 (in Dezimalschreibweise) haben, in eine einzige Klasse zusammenfassen. Diese Klasse nenne ich [(1,2)]. Hierbei steht die 1 für den Zähler und die 2 für den Nenner.

Nun habe ich repräsentativ den Bruch 1/2 in die Klasse geschrieben, sie ist aber dasselbe wie [(2,4)] oder etwa [(5,10)]. Genauso kann ich solche Klassen für jeden Bruch mit einem anderen Wert definieren in der Form [(p,q)], wobei p und q ganze Zahlen sind, q ungleich 0.

Nun kann ich eine Multiplikation von zwei Klassen definieren. Wenn wir uns an die Multiplikation von Brüchen erinnern, die ja "Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner lautet", so würde man definieren:

[(p, q)] * [(r, s)] = [(p * r, q * s)]. Das heißt:

[(1, 2)] * [(3, 4)] = [(3, 8)]. Und das stimmt ja, denn 1/2 * 3/4 = 3/8. Das Problem ist: Wer sagt mir, dass der Wert sich nicht ändert, wenn ich statt 1/2 einfach 2/4 eingesetzt hätte? Schließlich steht ja nur ein einzelner Repräsentant in der Klasse drin.

Hier gilt es die Wohldefiniertheit zu beweisen. Man nimmt sich ganz allgemein zwei Elemente aus den Klassen [(p, q)] und [(r, s)] und zeigt, dass deren Produkt tatsächlich in der Klasse [(pr, qs)] drin liegen muss.

ok, Theorie verstanden, aber wie zeige ich das schriftlich und mathematisc korrekt? in meinem Fall geht es um

Es seien: X = {1,2, ... , 10}, Y = {1, ..., 6} f : X -> Y und f(x): { x/2 für x e X gerade I (x+1)/2 für X ungerade

Ich weiß nicht, wie ich das aufschreiben muss...

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@Lonka11

siehe meine Lösung :-)

ist zwar in Worten verfasst, aber das reicht schon mal aus!

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