Wie kann ich das formal aufschreiben?
Hi,
ich möchte diese Funktion auf Injektivität bzw. Surjektivität überprüfen, weiß allerdings nicht genau wie ich das z.B. bei der Surjektivität machen soll, denn meine Begründung beläuft sich einfach darauf, dass die Abbildung ja von R^2 nach R verläuft, aber wie schreibt man das auf?
Und reicht das bei der Injektivität (oder muss ich meine Argmentation irgendwie anpassen, weil wir ja von R^2-->R sind):
f(x1,y1)=f(x2,y2) => (x1,y1)=(x2,y2) =>x1=x2 und y1=y2
LG:)
4 Antworten
Zur Injektivität:
Du schreibst
Das bedeutet aber, dass 1. f eine Abbildung von R² nach R² wäre und 2. f jedes Koordinatenpaar auf sich selbst abbildet, also dass f die Identitätsabbildung ist. Das ist ja offenbar nicht der Fall.
f(x, y) bedeutet, dass f die Zahlen x und y auf x+y "schickt".
Richtig wäre es so:
Daraus folgt aber nicht die Gleichheit der Komponenten. Bedenke, dass die Addition kommutativ ist.
Zur Surjektivität: Du musst für jedes z aus R ein (x,y) finden, sodass f(x,y)=z gilt. Anders gesagt: x+y=z
Finde also eine Zerlegung von z in eine Summe mit den Summanden x und y. Nutze hierbei beispielsweise, dass x und y auch reelle Zahlen sind und die reellen Zahlen als Körper ein neutrales Element der Addition besitzen.
Tipp: Du musst für jedes z aus der Bildmenge ein (x,y) aus der Definitionsmenge finden, sodass f(x,y)=z. Also fängst du an mit "Sei z aus R, dann ..." und findest ein passendes (x,y), damit es auf z abgebildet wird.
Zur Surjektivität:
Du musst zeigen, dass es zu jeder Zahl z ∈ ℝ eine Paar (x, y) ∈ ℝ² mit f₁(x, y) = z gibt.
Dazu kann man beispielsweise aufschreiben...
============
„[...] dass die Abbildung ja von R^2 nach R verläuft [...]“ reicht da bei Weitem nicht als Begründung. Denn beispielsweise verläuft ja auch die folgende Abbildung von ℝ² nach ℝ...
f: ℝ² → ℝ, (x, y) ↦ x² + y²
..., welche jedoch nicht surjektiv ist.
Zur Injektivität:
Nein, deine Argumentation reicht nicht. Wie kommst du beim ersten Schritt
f(x1,y1)=f(x2,y2) => (x1,y1)=(x2,y2)
von f(x1, y1) = f(x2, y2) auf (x1, y1) = (x2, y2)?
Und wenn du da jetzt sowas sagst wie... „Ich habe durch f geteilt.“... hast du grundlegend etwas nicht verstanden. Da wird nämlich nicht mit f multipliziert, sondern in f eingesetzt.
Die Funktion ist übrigens nicht injektiv. Denn es ist beispielsweise...
..., obwohl (1, 4) ≠ (2, 3) ist. Der gleiche Funktionswert wird also an mehr als einer Stelle angenommen.
Vielen Dank für die Mühe, dass hilft ungemein:)
Ich habe währenddessen etwas mit der Definition der Surjektivität unter den Beitrag von PhontonX geschrieben:
z=(x,0) ∈ R^2, deshalb gilt: ∀z∈R∃(x,y)∈R^2: z=f(x,0)
Geht das so?
Wenn du, warum auch immer, das nicht in Worten aufschreiben möchtest, sondern mit Symbolen, könnte man das evtl. so aufschreiben...
∀z ∈ ℝ: ((z, 0) ∈ ℝ² ∧ f₁(z, 0) = z)
⇒ ∀z ∈ R: ∃(x,y) ∈ ℝ²: f₁(x, y) = z
⇒ f₁ surjektiv
Aber warum das kompliziert mit Symbolen aufschreiben, wenn man das einfach auch mit wenigen Worten aufschreiben kann?
„Zu jedem z ∈ ℝ findet man (z, 0) ∈ ℝ² mit f₁(z, 0) = z. Daher ist f₁ surjektiv.“
Bei der Injektivät muss du nochmal drüberschauen, denn es muss ja
f(x1,y1)=x1+y1 heißen und nicht (x1,y1).
okay danke, aber wenn ich die Klammern weglasse, habe ich dann gezeigt, dass die Abbildung nicht Injektiv ist?
Nein dazu brauchst du einfach ein Gegenbeispiel. Bilde einfach mal (1,0) und (0,1) ab und schau was rauskommt
mmh.. ok, also so ungefähr (oder hab ich das komplett falsch verstanden):
Sei Z aus R, dann ∃(x,y)∈R^2: (x,y)=z
Und dann könnte ich doch so argumentieren, dass die Elemente aus auf z abgebildet werden, wenn y=0 oder?
Formal hätte ich das jetzt so aufgeschrieben:
z=(x,0) ∈ R^2, deshalb gilt: ∀z∈R∃(x,y)∈R^2: z=f(x,0)