Definitionsbereich? Bildmenge? Umkehrfunktion?
Kann mir jemand bei folgender Mathe-Aufgabe bitte weiterhelfen?
Für die folgenden Funktionen gebe man einen möglichst großen Definitionsbereich an und ermittle die zugehörige Bildmenge. Falls f umkehrbar ist, berechne man die Umkehrfunktion f^-1 (f hoch minus eins) und gebe deren Definitionsbereich und Bildmenge an.
Ich verstehe quasi nur Bahnhof >.<
2 Antworten
Tipp: Der Wert unter dem Bruchstrich darf niemals 0 sein. Jedes x, für das der Wert unter dem Bruchstrich gleich 0 ist, muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
In den Definitionsbereich gehören alle Zahlen, die man für x einsetzen darf; d. h. z. B., dass die Werte unter einer Wurzel nicht negativ werden dürfen oder, wie in Deinen beiden Funktionen, der Bruch nicht Null werden darf.
Bildmenge bedeutet Wertebereich, d. h. das ist die Menge aller Werte, die f(x) (also y) annehmen kann. Bei a) siehst Du (spätestens wenn Du die Betragsfunktion auflöst, also in die beiden Teilfunktionen für x<0 und x>0 "aufbröselst", d. h. die Funktion ohne Betragsstriche schreibst), dass y nur die Werte -1 und +1 annimmt. Bei b) kommst Du an die Wertemenge, indem Du die Grenzwerte für x gegen die Definitionslücke (links- und rechtsseitig) und gegen +/- - unendlich ermittelst. Hier gibt es eine waagerechte Asymptote, d. h. diesen y-Wert (Funktionswert) wird die Funktion niemals annehmen.
Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn jeder y-Wert nur einmal vorkommt, das ist bei a) schon einmal nicht der Fall, d. h. diese Funktion ist nicht umkehrbar.
Ob bei b) jeder y-Wert nur einmal vorkommt, sieht man so evtl. nicht direkt... Ein weiteres Merkmal einer umkehrbaren Funktion ist, dass sie stremg monoton fallend/steigend ist. Leitest Du diese Funktion ab, wirst Du sehen, dass f' immer negativ ist, also streng monoton fallend.
Eine Funktion kehrst Du um, indem Du die "originale" Funktionsgleichung nach x umstellst und dann x und y vertauschst. In dieser Umkehrfunktion f^(-1)(x) gilt dann:
D(f^-1)=W(f) und W(f^-1)=D(f), d. h. Definitions- und Wertemenge von f^-1 sind zu den entsprechenden Mengen von f vertauscht.
