Wie untersuche ich Injektivität/Surjektivität bei komplexen Zahlen?
Ich weiß zwar, was Inj./Surj. ist, verstehe aber nicht, wie diese Funktionen aussehen.
Danke im vorraus.
2 Antworten
Sich das Aussehen von komplexen Funktionen vorzustellen ist auch nicht ganz einfach. Die Injektivität und Surjektivität zeigst du aber genau so wie du sie im Reellen zeigst, denn auch da sollst du ja gerade NICHT die grafische Darstellung verwenden, sondern prüfen:
Injektiv: z1 <> z2 -> f(z1) <> f(z2)
Surjektiv: Für alle y im Wertebereich von f existiert ein z im Defintionsbereich so dass f(z) = y.
Hinweis: (i) ist surjektiv, aber nicht injektiv. Nun weise dies anhand der obigen Definitionen nach.
Bei Funktionen auf C, kann man sich sehr schwer ein "Aussehen" vorstellen.
Du mußt einfach nur die Definitionen von Surjektiv und Injektiv abprüfen.
f1: surjektiv: gibt es zu jedem Element x aus IR eine komplexe Zahl so dass x der Realteil dieser Zahl ist ? Das ist trivial, denn man kann so eine komplexe Zahl einfach definieren
injektiv: gibt es zu jeder reellen Zahl x aus IR (höchstens) ein Urbild, also eine komplexe Zahl deren Realteil x ist? Ist auch trivial, denn ich kann zu jeder reelen Zahl sofort zwei komplexe Zahlen hinschreiben mit unterschiedlichem Imaginärteil.
f2 ist etwas schwieriger, aber eigentlich genau so schnell machbar.