Wofür braucht man (hyper-)komplexe Zahlen?

3 Antworten

Okay, vergiss mal kurz alles, was du über komplexe Zahlen gelernt hast: Hyperkomplexe Zahlen sind einfach mehrdimensionale, reelle Zahlen. Aber fangen wir vorne an.

Was sind reelle Zahlen? Wofür reelle Zahlen?

Versuchen wir erstmal die Motivation hinter dem Zahlenkörper IR zu verstehen. Beschäftigen wir uns ein bisschen mit rationalen Folgen, erkennen wir schnell ein Problem: Es gibt (Cauchy-)Folgen, die gegen keinen rationalen Wert (z. B. die Wurzel aus 2) konvergieren (denn wir können leicht zeigen, dass die Wurzel aus 2 irgendwo zwischen 1 und 2 liegen muss (1² = 1 < 2² = 4), aber nicht rational sein kann). Das ist schlecht und gibt uns zumindest anschaulich zu verstehen, dass die rationalen Zahlen "Löcher" haben, dass es also trotz der Dichte von Q immer noch Zahlen gibt (ich finde hier den englischen Begriff "numberlike objects" passender), die nicht rational sind. Formal bezeichnet man das als unvollständigen Zahlenkörper (genauer: ein Körper heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert, insbesondere ist damit vorausgesetzt, dass der Grenzwert im Körper selbst liegt).

Um diese Löcher zu "stopfen", definiert man einen Zahlenkörper IR, die modernste Definition ist es, IR als Menge von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen zu definieren: Sei CF(Q) die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen und



(das zeigt, wann zwei Folgen dieselbe reelle Zahl beschreiben, nämlich genau dann, wenn die Grenzwerte gleich sind, die Differenz der Folgenglieder also gegen Null geht), dann definiert man



(das ist die Menge aller Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation ~). Damit haben wir alles abgedeckt, treffen jedes (zumindest eindimensionale, dazu gleich mehr) "numberlike object", denn wir können eine nicht-rationale Zahl (also eine irrationale Zahl) durch immer weiteres Hinzufügen von Nachkommastellen immer durch rationale Zahlen annähern (formal: die b-adische Darstellung), also finden wir immer eine (rationale!) Folge, die den gewünschten Grenzwert hat. Also sind die Löcher gestopft und man kann zeigen, dass nun wirklich jede Cauchy-Folge konvergent, IR also vollständig ist.

Puh, kurze Verschnaufpause, dann geht es weiter.

Was sind komplexe Zahlen? Wofür komplexe Zahlen?

Die eigentliche Geschichte hinter komplexen Zahlen beginnt in Italien, bei den italienischen Mathematikern Tartaglia und Cardano, die sich mit kubischen Gleichungen



und insbesondere deren Nullstellen beschäftigt haben. Bekannt war damals bereits, dass jede kubische Gleichung mindestens eine (reelle) Nullstelle haben muss (das folgt aus dem Nullstellensatz von Bolzano, ein einfaches Korollar aus dem Zwischenwertsatz). Also musste es ja auch für jede kubische Gleichung mindestens eine Lösung geben. Tartaglia entdeckte durch aufwändige algebraische Umformungen dann irgendwann eine allgemeine Lösungsformel, die allerdings Wurzeln beinhaltete und damit nur eine (reelle) Lösung hatte, wenn bestimmte Koeffizienten positiv waren. Tartaglia und Cardano wussten aber, dass es eine Lösung gibt und erkannten auch, dass die Lösungsformel bei bestimmten kubischen Gleichungen Wurzeln mit negativem Radikanten beinhaltete, die offensichtlich (im Reellen) nicht existierten, denn man konnte leicht zeigen, dass Quadrate von reellen Zahlen immer nicht-negativ waren.

Das gab Anlass dafür, eine neue Zahlenart zu definieren, die komplexen Zahlen, diese waren nichts anderes als reelle, aber zweidimensionale Zahlen. Die reellen Zahlen selbst wurden dann einfach mit einer Dimension identifiziert (intuitiv: die reelle Achse, also die Zahlen mit Imaginärteil 0). Man erkannte weiter, dass zweidimensionale Zahlen vermöge der (erstmal willkürlich wirkenden) Definition



nun im Quadrat nicht mehr unbedingt nicht-negativ sind, denn:



Rechts steht eine reelle Zahl, denn die eine Dimension verschwindet: Rechts steht -1. ((0, 1) ist genau die Zahl, die Euler dann später als imaginäre Einheit i definierte). Der Grund für genau diese Definitionen von Addition und Multiplikation war letztlich nur, dass diese Zahlen die "üblichen" Eigenschaften haben sollten, d. h. sie sollten insbesondere Forderungen wie Kommutativität, Assoziativität, Distributivität, Existenz eines Nullelements, Existenz eines Einselements, etc. erfüllen (formal: Die Zahlen sollten wieder die algebraische Struktur eines Körpers bilden), informell: Man sollte mit zweidimensionalen Zahlen so rechnen können wie mit "allen anderen Zahlen" auch.

Wichtig: Die Form



die oft in Definitionen von komplexen Zahlen auftaucht, ist lediglich Notation! Eigentlich sprechen wir bei komplexen Zahlen immer von Tupeln.

Mithilfe dieser Erweiterung konnten Tartaglia und Cardano dann tatsächlich bei jeder kubischen Gleichung mit der aufgestellten Lösungsformel arbeiten, und vor allem erhielten sie trotz Wurzeln mit negativen Radikanden immer mindestens eine reelle Lösung. Sie gingen also den Umweg über komplexe Zahlen, als wären solche Wurzeln das normalste der Welt und kamen dann immer mindestens einmal wieder ins Reelle zurück, das war die reelle Lösung, die immer existieren musste. Teilweise waren die anderen Lösungen dann zweidimensional und wurden verworfen, denn wenn ein Graph nur eine (reelle...) Nullstelle hat, hatte er eben nur eine (das konnte man sich auch visuell gut veranschaulichen) und die anderen, komplexen Lösungen interessierten nicht.

Später erkannte man dann viele weitere Eigenschaften der komplexen Zahlen, beispielsweise dass jedes nicht-konstante Polynom (mindestens) eine Nullstelle hat (man sagt auch die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen und bezeichnet das als Fundamentalsatz der Algebra). Ein einfaches Korollar daraus ist, dass jedes Polynom n-ten Grades genau n komplexe Nullstellen hat.

Aber wofür, mag man sich jetzt berechtigterweise fragen und ich möchte nur ein Beispiel nennen, aber es gibt genug. Betrachten wir Addition und Multiplikation komplexer Zahlen in der Ebene. Für reelle Zahlen ist das langweilig, Addition schiebt den Zahlenstrahl nach links, Multiplikation ebenfalls, aber um einen Faktor. Im Komplexen wird insbesondere bei der Multiplikation spannend, diese wirkt nämlich wie eine Drehstreckung der Zahlenebene. Okay, langsam: Wir haben zwei zweidimensionale Zahlen, diese liegen beide in der Ebene. Wir können diese Zahlen natürlich einerseits als Tupel betrachten (die algebraische Form), wir können aber auch andererseits jede Zahl eineindeutig (die Null ausgenommen) durch Abstand vom Nullpunkt und Angabe eines Winkels zur reellen Achse identifizieren (das ist die Polarform), anschaulich hier:

(Grafik aus: youtube.com/watch?v=wdW3YnHBLVg)

In orange unser Winkel zur reellen Achse, in blau unser Abstand zum Nullpunkt, beides in Kombination beschreibt den grünen Punkt in der Ebene, der für genau eine komplexe Zahl steht. Was passiert aber jetzt mit Winkel und Abstand, wenn wir an diese Zahl eine andere komplexe Zahl (mit anderem Winkel und anderem Abstand) dranmultiplizieren? Die Antwort: Die Winkel addieren sich, die Abstände multiplizieren sich. Diese geometrische Eigenschaft hilft unglaublich, insbesondere wenn es um zweidimensionale Drehungen (zum Beispiel in 2D-Videospielen) geht. Dabei wird oft (wenn auch implizit) mit zweidimensionalen Zahlen gerechnet - anschaulich: Mit Vektoren (hier konkret gemeint im IR²). Solche Vektoren verhalten sich im Wesentlichen nicht anders als komplexe Zahlen (abgesehen von ein paar Definitionen) - das ist aber auch sonnenklar, wenn wir uns die Definition vom Zahlenkörper C anschauen:



In vielen Kontexten sind komplexe Zahlen, aufgefasst in algebraischer Form, einfach sinniger als Vektoren mit zwei Komponenten, auch wenn es im Wesentlichen dasselbe ist (auch C bildet - offensichtlich - einen IR-Vektorraum).

Wofür aber jetzt noch mehr? Warum hyperkomplexe Zahlen?

Zunächst ist die Versuchung in der Mathematik natürlich immer groß, zu verallgemeinern, man fragt sich: Welche mehrdimensionalen Zahlen ergeben noch Sinn, welche sind noch "numberlike"? Man betrachtet Zahlen der Dimension 3, 4, 5, 6, 7, 8, sieht aber schnell ein, dass nur Zahlen der Dimension 4 (diese bezeichnen wir als Quaternionen) und 8 (diese bezeichnen wir als Oktonionen) noch die üblichen "Rechengesetze" erfüllen, wobei wir bei beiden Kommutativität und bei Oktonionen zusätzlich Assoziativität einbüßen müssen (formal: die Quaternionen bilden einen Schiefkörper, die Oktonionen einen Alternativkörper). Beschränken wir uns erstmal auf Quaternionen - wofür zur Hölle Quaternionen?

Zunächst ist die Definition von Quaternionen wieder einfach:



Daraus können wir wieder verschiedene Darstellungen (Notation!) von Quaternionen ableiten, nämlich wieder mit einer Einheit j als



oder, wenn wir IH als IR^4 auffassen, als Zahl mit einem drei-dimensionalen Imaginärteil



Das funktioniert alles wieder völlig analog zur Konstruktion der komplexen Zahlen aus den reellen, nur dass der Imaginärteil jetzt eben nicht mehr nur ein-, sondern dreidimensional ist.

Wir könnten jetzt wieder dieselbe Überlegung wie vorher aufzäunen, uns alternative Darstellungen für Quaternionen überlegen und dann elementare Rechenoperationen geometrisch betrachten. Das führe ich jetzt nicht aus (haben andere aber in Fachbüchern schon ausführlich getan), sondern gebe nur das Ergebnis: Wir können die Rotation um einen beliebigen (normierten) Vektor (x, y, z) um einen Winkel φ durch die Quaternione



darstellen, formal: Die Abbildung



die jeder normierten Quaternione (daher die 1 im Index) eine (d.h. die entsprechende) reelle Drehmatrix zuordnet, definiert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus.

Natürlich sind das alles keine Dinge, die man im Alltag an der Supermarktkasse benötigt. Aber trotzdem hat es seine Daseinsberechtigung und es macht Sinn, mehrdimensionale Zahlen zu betrachten, weil es viele Dinge vereinfacht. Auch die Oktonionen haben ihren Sinn beispielsweise in der Physik, wo man (das musste ich auch nachlesen) mit ihnen achtdimensionale Supersymmetrien repräsentieren kann, die in der Stringtheorie Verwendung finden. Aber wenn du nicht gerade viel mit höherer Mathematik, dreidimensionalem Games Engineering oder tiefgehender theoretischer Physik zu tun hast, werden dir diese Zahlen vermutlich eher nicht begegnen.

Und ja, natürlich könnte man auch einfach mit n-Tupeln reeller Zahlen rechnen und die Operationen als einfache Abbildungen darstellen, aber das macht es unnötig kompliziert. Versuche mal, ein paar Aufgaben mit komplexen Zahlen mit der 2-Tupel-Darstellung zu lösen. Das macht man nicht gern zweimal.

Das Credo: So abstrakt und absurd manche Konstrukte der Mathematik scheinen mögen - es gibt immer eine Idee dahinter. Niemand definiert sich Dinge zum Spaß, aber für wen die entsprechenden Definitionen und dadurch entstehenden Strukturen sinnvoll sind und Anwendungen ergeben, ist die ganz andere Frage. Da wird die Menge, je abstrakter es wird, zunehmend kleiner.

Liebe Grüße.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium Mathematik
 - (Schule, Mathe, Mathematik)

Je nach Bedarf ist die eine oder andere Darstellung einfach sinnvoller. Um rauszubekommen was wann am besten verwendet wird musst du einige Beispiele rechnen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Nur ein Anwendungsbereich: In der Elektrotechnik (Wechselstrom) machen komplexe Zahlen viele Berechnungen wesentlich einfacher/beherrschbarer (und nebenbei auch anschaulicher). Das sind für Elektrotechniker/Elektroniker ganz praktische, sozusagen tägliche Aufgaben. Hier ist das recht gut erläutert.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

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