Mathematik Aufgabe mit komplexen Zahlen NST berechnen?
z^4 - (4 + 2i)*z^2 + 8i = 0 i ist imaginäre Zahle Wurzel (-1)
(z^2)^2 - (4+2i)*z^2 + 8i =0 Substitution z^2 = w
w^2 - (4+2i)w + 8i = 0 Mitternachtsformel
w1/2 = [(4+2i) +-Wurzel[(4+2i)^2 -32i]] / 2 Nebenrechnung für die Wurzel
NR: Wurzel(16 + 8i + 4i^2 - 32i) = Wurzel(16 - 24i + 16i^2) = Wurzel(4(4-6i+4i^2))
i^2 = - 1
2*Wurzel(-6i)
Wie ziehe ich jetzt die Wurzel aus - 6i ???
i = imaginäre Zahl Wurzel -1
4 Antworten
Die Wurzel aus -i kann man im Kopf ziehen, indem man den Winkel im Kreisdiagramm halbiert. Das wäre 1/Wurzel2 - i/Wurzel2.
Ginge wohl auch -1/Wurzel2 + i/Wurzel2, aber da weiß ich nicht, ob das gegen die Wurzeldefinition verstößt, wegen dem negativen Realteil.
Das muss man nun noch mit Wurzel6 malnehmen.
Den Rest habe ich mir nicht angeschaut.
Die Wurzel aus einer komplexen Zahl zieht man indem man diese in die Polarform umschreibt, dann Mittels Wurzel- und Potenzgesetze zusammenfasst und dann die eulersche Formel anwendet:
Ich habe die Schritt für Schrittberechnung hinzugefügt.
Das ginge auch. Sie können aber auch einfach die pq-Formel anwenden.
h^2 = -6i ;
h = a - bi => h^2 = a^2 - 2abi - b^2 = - 6i ; => a^2 - b^2 = 0 => a = b ; 2ab = 6 ;
=> 2 a^2 = 6 ; => a^2 = 3 ; => a = b = + - sqrt(3); => h = + - sqrt(3) * (1 - i ) .
Oh je Oje geht dies auch einfacher. Die Berechnung war soweit korrekt oder?
Ja geht auch einfacher mit Polarkoordinaten. z = r * [ cos (x) + i * sin(x) ]
-6i = 6 *[ cos(1,5*pi) + i * sin( 1,5*pi) ] ; h^2 = -6i =>
h = sqrt(6) * [ cos( 0,75*pi) + i * sin( 0,75*pi) ] ; Aus dem Betrag die Wurzel ziehen und den Winkel halbieren.
Das übrige hatte ich mir nicht angeschaut.
Hinter NR muss statt 8i 16i stehen.
War meine Berechnung soweit korrekt?
Wenn ja kann ich w^2 - (4+2i)w + 8i = 0 auch einfacher lösen
Quadratische Ergänzung z. B. ?