Wurzel von - 4?
Ist die Wurzel von - 4 {2i;-2i} oder {2i}?
Die, die nichts vom komplexen Zahlenbereich wissen, bitte nicht antworten. Es geht hier nämlich um den. Da gibt es auch Wurzeln von negativen Zahlen.
i ist hier keine Variable sondern eine Zahl, nämlich die Wurzel von - 1
6 Antworten
Hallo,
als n-te Wurzeln einer komplexen Zahl z gelten alle Lösungen der Gleichung
a^n=z. Daher sind sowohl 2i als auch -2i die komplexen Wurzeln von -4.
Die Beschränkung auf nichtnegative Zahlen würde im Bereich der komplexen Zahlen auch nicht wirklich Sinn ergeben.
Herzliche Grüße,
Willy
Ein ganze klares ... beides.
Eigentlich ist die Wurzel von -4 2i (genau das gleiche mit Wurzel 4, da ist die Lösung auch nur 2). Wenn du aber eine quadratische (oder andere ganzrationale Funktionen mit geradem Exponenten >2) Gleichung hast und diese umformen möchtest, musst du auch den negativen Teil betrachten :)
LG
Die Gleichung x^2 = z mit z Element R hat immer zwei Lösungen, nämlich wurzel(z) und -wurzel(z). Die Wurzelfunktion f(z) ist aber eindeutig definiert, nämlich als die Zahl x mit einem positiven Vorzeichen, die die Gleichung x^2 = z erfüllt.
Zählt bei Komplexen Zahlen denn das Vorzeichen des Realteils oder des Imaginärteils?
Also ist -2 + 3i negativ oder 2 -3i oder -2 -3i?
tatsächlich spielt das bei obiger Definition keine Rolle. Denn dabei sind nur positive und negative Vielfache von i möglich, und damit ist sie eindeutig.
Was du höchstens meinen könntest sind Lösungen des Nullstellenproblems
ax^2 + bx + c = 0
Wenn da aber x + iy eine Lösung ist, so sicher auch x - iy (konjugiert komplexe Zahl), aber NICHT -x - iy oder -x + iy.
2i * 2i = 2*2i² = 4*(-1) = -4
(-2i)*(-2i) = 4*i² = -4
Es geht also auf. Bleibt nur die Frage, ob die Wurzelfunktion im komplexen Bereich so definiert ist, dass sie die zweite Lösung zulässt und ob dies für alle Komplexen Zahlen gilt, also auch für die mit Realteil.
Eine Funktion KANN nicht so definiert werden dass sie zwei Lösungen zuläßt, dann ist sie ja keine Funktion mehr :-):
Okey, das ist ein schlagendes Argument. :)
Wobei man das Funktionsergebnis als Vektor definieren könnte und dann könnte sehr wohl in den C^2x1 funktional abgebildet werden ;)
https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/hauptzweig-der-wurzel/3848
Das fällt wenn man das auf R einschränkt genau mit der von mir gegebenen Definition zusammen.
Tatsächlich werden alle Lösungen der Gleichung x^n = z als "n-te Wurzel" bezeichnet, man muß sich bei der Bildung der Wurzelfunktion auf einen Zweig beschränken und das ist üblicherweise der Hauptzweig.
Oje und ich dachte Fremdsprachen verlernt man nie so ganz.
Komplexe Zahlen waren nie meine starke Seite, und das obwohl ich Funktionentheorie I und II belegt hatte und FT II sogar in Reiner Mathematik als Hauptprüfungsfach hatte. Das Ergebnis war ... suboptimal :-). Aber um das mit den Wurzeln irgendwoher abzurufen reicht es gerade noch.
kein Quadrat von reellen Zahlen kann negativ sein, somit ist eine Quadratwurzel einer negativen Zahl, wie der -4, auch nicht möglich
Steht da irgendwo dass es sich um reelle Zahlen handelt? Sagen dir komplexe Zahlen irgend etwas?
Der Wertebereich wurde nicht explizit auf reelle Zahlen festgelegt - insofern kann man die komplexen Zahlen berücksichtigen und mit der Definition i² = -1 kann man auch negative Wurzeln ziehen.
Vielen dank