Komplex n-te Wurzel von einer negativen Zahl?
Hey,
wie kann ich das bsp lösen:
5te Wurzel aus -4 ?
meine idee: 5te Wurzel (4) * 5te wurzel (-1) nur wie gehts dann weiter ? brauche die euler form also: re hoch i(phi+2pik) ?danke
3 Antworten
. 5. Wurzel(-4) = - 5.Wurzel(4)
Das ist die einzig reelle Lösung.
Da bei ungeraden Wurzeln das Vorzeichen erhalten bleibt, geht das.
Wenn du alle komplexen Wurzeln brauchst, gehst du am einfachsten über die Polarkoordinaten: Wurzel aus Betrag und Argument/5.
Die anderen Werte liegen um Vielfache von 2pi/5 vom Argument der ersten Lösung "entfernt".
Hallo,
Du solltest Dir zunächst geometrisch klarmachen, wo die komplexen Wurzeln einer komplexen Zahl liegen.
Sie befinden sich alle auf einem Kreis um den Ursprung der komplexen Zahlenebene, dessen Radius der entsprechenden Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl entspricht.
Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Länge des Ortsvektors oder Zeigers, der vom Ursprung der Zahlenebene zu der Zahl führt und wird über den Satz des Pythagoras berechnet: Wurzel (Realanteil²+Imaginäranteil²).
Da die -4 eine reelle Zahl ist, die keinen Imaginäranteil besitzt, entspricht ihr Betrag ihrem Abstand zum Ursprung, ist also 4.
Die Länge der 5. Wurzel muß daher die 5. Wurzel aus 4 sein. Das ist der Radius des Kreises, auf dem alle 5 Wurzeln liegen.
Diese fünf Wurzeln sind in Form eines regelmäßigen Fünfecks auf dem Kreis verteilt. Ihre Zeiger haben also einen Abstand von 360/5=72°.
Die Richtung des ersten Zeigers bekommst Du, wenn Du den Winkel des Zeigers, der zu -4 führt, durch 5, den Grad der Wurzel teilst.
In bezug auf die reelle Achse (Abszisse, waagerechte Achse) der Zahlenebene hat -4 einen Winkel von 180°, was auch ohne Rechnung ersichtlich ist.
180/5=36.
Hier ist der Startwinkel.
Die Wurzeln sind demnach 5.Wurzel (4)*(cos(36+72n)+i*sin(36+72n)), wobei n der Reihe nach Werte von 0 bis 4 annimmt.
So kommst Du auf vier komplexe und eine reelle Wurzel.
Bei komplexen Zahlen, die nicht auf einer der beiden Achsen liegen, deren Winkel also nicht direkt ablesbar ist, bestimmst Du den Winkel des Zeigers über den Arkustangens (Imaginäranteil/Realanteil). Du mußt Dir dabei bewußt sein, in welchem Quadranten die jeweilige Zahl liegt, weil der Taschenrechner nur bestimmte Winkel zu einem Tangens liefert. Du mußt Dir also im klaren sein, wo entsprechende Winkel in dem Quadranten liegen, in dem Deine Zahl ist.
Beispiel: z=-3-5i.
Diese Zahl liegt links von der senkrechten Imaginärachse und unterhalb der Realachse, also im dritten Quadranten. Der gesuchte Winkel muß also zwischen 180° und 270° liegen.
Der Rechner liefert als Arkustangens zu (-5/-3) den Winkel 59,036°.
Um den entsprechenden Winkel im dritten Quadranten zu finden, der den gleichen Tangens besitzt, mußt Du diese 59,036° einfach zu 180° addieren.
Herzliche Grüße,
Willy
Hört sich doch soweit ganz gut an