Wurzel aus negativen zahlen. Komplexe zahlen?
Hallo,
wie komme ich von wurzel minus9 auf 3i?
danke
3 Antworten
Hallo Eliifff,
die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist eine rein imaginäre Zahl.
wie komme ich von wurzel minus9 auf 3i?
Durch die Anwendung von Rechenregeln. Dabei würde ich hier erst einmal den umgekehrten Weg gehen und 3i quadrieren.
Für zwei Reelle Zahlen a und b und eine Natürliche Zahl n gilt nämlich
(1.1) (a∙b)ⁿ = aⁿbⁿ
und insbesondere gilt das natürlich auch für n = 2. Das sollte sich problemlos auf Imaginäre und letztlich Komplexe Zahlen erweitern lassen: Setzen wir a = 3 und b = i:
(1.2) (3∙i)² = 3²∙i² = 9∙(−1) = −9.
Allerdings ist auch das Quadrat von
(2) −3∙i = 3∙(−i)
gleich −9, und deshalb müssen wir uns klar machen, was wir mit der Quadratwurzel meinen. Bei den Reellen Zahlen hat man negative Zahlen bei der Definition der Quadratwurzel ausgeschlossen.
Bei Komplexen Zahlen spricht man davon, dass eine beliebige Komplexe Zahl
(3) z = x + i∙y
2 Quadratwurzeln ζ und −ζ (und übrigens auch allgemeiner n n-te Wurzeln) hat und eine davon der Hauptwert ist. Somit ist definitionsgemäß
(4) √{−1} =: i,
obwohl auch (−i)² = −1 ist. Allerdings – was ist generell der Hauptwert einer Wurzel?
Hierbei ist die visuelle Darstellung in der GAUßschen Zahlenebene hilfreich:
Abb. 1: Die ganzzahligen Potenzen von i in der GAUßschen Zahlenebene
Für alle Zahlen, die in der oberen Halbebene einschließlich der Reellen Achse liegen, liegt der Hauptwert der Quadratwurzel in der oberen Halbebene, für alle anderen in der unteren.
i² = -1
Somit kannst du innerhalb deiner Wurzel "-9" zu "9 x i²" ersetzen. Damit hast du Wurzel aus 9 x Wurzel aus i² und damit 3i.
ACHTUNG: es muss Wurzel minus9 sein. Negative Wurzel also
