Komplexe Zahl z mit der Eigenschaft z^2=i?

Also die Frage steht ja schon im Titel, ich brauche dringend eine Lösung für eine komplexe Zahl z Element C mit der Eigenschaft z^2=i

Ich hoffe ihr könnt mir da helfen

Answer 1

[eterneladam]

Ansatz mit Polarkoordinaten: exp( i × Pi / 4 ). Das ist gleich cos( Pi / 4 ) + i × sin( Pi / 4 ). Das ist dann die Lösung von ralphdieter (bis auf plusminus).

Answer 2

[SlowPhil]

Hallo gulu202,

während sich für Addition Komplexer Zahlen besser die Kartesische Form

(1.1) z = x + i∙y

eignet, ist für Multiplikation und Potenzierumg besser die Polarform oder auch Exponentialform

(1.2) z = r∙e^i∙φ 

geeignet, die auf der EIULER- Formel

(2) e^i∙φ = cos(φ) + i∙sin(φ)

beruht. Natürlich ist dabei

(3.1) x = r∙cos(φ) und
(3.2) y = r∙sin(φ).

Hier greifen nämlich die Potenzgesetze

(4.1) a^u ∙ a^v = a^u + v 

und

(4.2) (a^u )^v = a^u∙v .

Da i = e^i∙½π ist, muss z = ±e^i∙¼π sein, und mit (3.1) und (3.2) aus und der Information, dass cos(¼π) = sin(¼π) = √½ ist, kommt man auf

(5) z = ±(√½ + √½∙i)

Abb.: Ganzzahlige Potenzen von i (Bild Marke Eigenbau)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 3

[SuperMenschMann]

Weiß ich nicht auswendig. Löse doch (a+bi)^2 = i. Links ausmultiplizieren, dann hast du mit einem Koeffizientenvergleich (Re = 0, Im = 1) zwei Gleichungen und kannst es lösen.

Answer 4

[ralphdieter]

±(1+i)/√2

Comments

[gulu202]

Ist / ein Bruchstrich oder eine Trennung zwischen dem ersten und dem zweiten Ausdruck?

[ralphdieter]

@gulu202

Bruchstrich.

Du findest die Lösungen leicht, indem Du den Winkel von (0, i) halbierst. Das geht dann in die Richtung (1, i) und muss nur noch mit dem Faktor 1/√2 auf die richtige Länge skaliert werden.