Sind komplexe Zahlen reelle zweidimensionale Vektoren?

Du weißt ja sicherlich, daß man jedes Element des komplexen Zahlkörpers C eindeutig in der Form a+bi mit a, b in R darstellen kann.

Ein unheimlich wichtiger, aber ganz einfacher Gedanke der Algebra ist der folgende: Ist K ein Teilkörper eines Körpers L, so kann man L automatisch als K-Vektorraum auffassen. Denn da L sogar die Körperaxiome erfüllt, ist L insbesondere additiv eine Gruppe (mit der Null von L als neutralem Element); da die Multiplikation in L eine assoziative Verknüpfung ist, kann man insbesondere jedes Element c von K mit jedem Element x von L multiplizieren, und es gilt (cc')x = c(c'x) (mit c' in K), 1x = x; die Distributivgesetze von L enthalten ebenso speziell das, was noch fehlt, um L als K-Vektorraum zu erkennen. Warum ist das wichtig? Weil man dadurch die Lineare Algebra als Instrument zum Studium von Körpererweiterungen nutzbar machen kann!!

Nun ist R ein Teilkörper von C. Fasst man C, wie eben beschrieben, als R-Vektorraum auf, so besagt die obige Aussage, dass sich jedes Element von C eindeutig in der Form a + bi (= "a·1 + b·i") darstellen kann, in der Sprache der Linearen Algebra nichts anderes als

dass {1, i} eine R-Basis des R-Vektorraums C ist.

Es ist also tatsächlich C ein 2-dimensionaler Vektorraum über R. In linear-algebraischer Auffassung ist jedes Element von C also ein Vektor eines R-Vektorraums der Dimension 2.

(Vektoren haben keine Dimension, sondern nur Räume. Du kannst deine Frage also nur so gemeint haben, ob komplexe Zahlen Vektoren eines 2-dimensionalen R-Vektorraumes seien. Wie ausgeführt, heißt die Antwort: JA!)

Ja, man kann C als 2-dimensionalen VR über R mit Basis 1 und i auffassen.

So kann man sie darstellen ähnlich wie reelle Zahlen auf eine Zahlengerade 'passen'.