Injektivität, Surjektivität bei Abbildungen überprüfen?
Grüßt euch,
es ist die injektivität oder surjektivität bei der Abbildung zu überprüfen. Leider verstehe ich nicht, was hier genau auf was abgebildet wird. Wird die Menge (0,1)^4 vier mal mit sich selbst multipliziert und dnaach auf 0,1...,15 abgebildet oder wie soll man das verstehen?
LG
2 Antworten
Rechts hast du 4 Variablen und links hast du eine 4er Potenz. Vermutlich entspricht jede Potenz einer Variablen. Was könnte dann {0,1} sein? Na, a b c und d können entweder 0 oder 1 sein.
Kannst du mit 8a + 4b + 2c + d und a,b,c,d € {0,1} alle Zahlen von 0 bis 15 darstellen? Wenn ja, dann surjektiv.
Injektiv? Es handelt sich quasi um eine Abbildung von R^4 nach R. Es darf kein Wert zweimal vorkommen. Wenn die Abbildung in jeder Variablen injektiv ist, dann ist sie das auch insgesamt.
df/da = 8, df/db = 4 usw. (partielles ableiten bedeutet konstant halten der anderen Variablen) => Die Funktion ist in jeder Variablen streng monoton und da sie offensichtlich stetig ist folgt daraus die Injektivität.
Die Abbildung ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv, also umkehrbar.
{0,1} steht für die binären Zahlen
{0..15} steht für hexadezimale Zahlen.
Es ist also immer möglich 4 binäre Zahlen eindeutig in eine hexadezimale umzuwandeln und umgekehrt.
Ich muss nur bei der Stetigkeit korrigieren, da ja nur die Werte 0 und 1 vorkommen. Deswegen kann die Abbildung nicht stetig sein. Injektiv ist sie aber trotzdem, wie man für 2 Fälle leicht nachprüfen kann.
Auf der einen Seite hast du 4er-Tupel (a, b, c, d), wobei a, b, c, d jeweils 0 oder 1 sein können. Auf der anderen Seite hast du die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Ein Tupel (a, b, c, d) wird von f_3 jeweils auf die Zahl 8a + 4b + 2c + d abgebildet. Beispielsweise wird das Tupel (1, 1, 0, 1) wegen 8 * 1 + 4 * 1 + 2 * 0 + 1 = 8 + 4 + 1 = 13 auf die Zahl 13 abgebildet.
Etwas Hintergrund zur Abbildung: Die Abbildung f_3 bildet im Grunde die Darstellung einer Zahl n im Dualsystem auf die Zahl n ab.
(Wenn man sich die Funktionswerte aufschreibt, wie ich es beispielsweise im eingefügten Bild getan habe, sieht man, dass die Funktion offensichtlich injektiv und surjektiv ist. Aber man kann alternativ auch einfach auf die eindeutige Darstellbarkeit natürlicher Zahlen im Dualsystem verweisen.)
Ich habe einen Fehler in meiner Antwort gefunden:
Auf der anderen Seite hast du die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Die 16 sollte hier nicht dabei sein. Die Aufzählung sollte bei 15 enden.
Vielen Dank, Mr. Meeseeks. Machst deinen Namen alle Ehre!