Rechtsseitige Umkehrabbildung <=> Surjektivität?

Hallo Leute,

ich muss eine Aufgabe erledigen, wo ich mir nicht ganz sicher bin wie ich vorgehen soll.

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie allgemein, dass eine Abbildung f:M→N genau dann surjektiv ist, wenn f eine rechtsseitige Umkehrabbildung hat.

Was ich hier nicht verstehe, ist die Aufgabenstellung.

Ich weiss selber von der Definition, dass: Eine rechtsseitige Unkehrabbildung automatisch surjektiv ist!

Ich habe mir das so überlegt:

1. Beweis auf rechtsseitige Umkehrabbildung
2. Beweis auf Surjektivität.

Nun kommt mein falscher (aber von mir selber gemachter) Ansatz:

Z.Z: f: M -> N ist eine rechtsseitige Umkehrabbildung.

<=> f^-1: N -> M = f°f^-1 = idN

Beweis: ? Hier komme ich einfach nicht weiter, da ich keine Abbildungsvorschrift habe, weil die nicht gegeben ist.

Kann mir hier vielleicht jemand helfen, was genau die Aufgabe von mir möchte?

Danke im Voraus

Answer 1

[DerRoll]

Dein Grundfehler ist, dass du bei einer Äquivalenz nicht beides gleichzeitig zeigen musst. Du nimmst statt dessen zunächst an, das f subjektiv ist und zeigst dass dann eine rechtsseitige Umkehrabbildung existiert. Dann nimmst du statt dessen an dass eine rechtsseitige Umkehrabbildung existiert und folgerst daraus dass f subjektiv ist. Damit hast du die Äquivalenz bewiesen.

Tatsächlich erfordert der Beweis übrigens scheinbar komplexe mengentheoretische Mittel, siehe

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion

Abschnitt Verallgemeinerungen

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[vikiller01]

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion

Ich habe die Verallgemeinerungen durchgelesen. Was genau meinst du mit "komplexe mengentheoretische Mittel"

[DerRoll]

@vikiller01

Das Auswahlaxiom anzuwenden ist in der Regel nicht trivial.

[MagicalGrill]

@DerRoll

Tatsächlich ist die Aussage sogar äquivalent zum Auswahlaxiom, was sie höchst nicht-trivial macht :)