Injektivität/ Surjektivität formal nachweisen?

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5 Antworten

Du schreibst: "Funktion f(x)=x^2, die ja bekanntlich injektiv ist"
NEIN, f(x)=x² ist NICHT injektiv, da f(x) = f(-x) für alle x.

Für den Nachweis der Surjektivität von f(x)=x², IR→IR musst du prüfen, ob es für jede relle Zahl y eine reelle Zahl x gibt, so dass f(x)=x²=y.

Tipp: Überleg mal, ob es z.B. für y=-4 ein reelles x gibt, so dass x²=-4


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Kommentar von CrazyD800
12.09.2016, 11:40

Da habe ich mich aus Versehen verschrieben

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Aus x1² = x2² folgt eben nicht die Gleichheit von x1 und x2 (sondern nur, dass deren Beträge gleich sind).

Im zweiten Fall: Es ist nicht sinnvoll, die Umkehrfunktion zu bilden, ohne die bi (zumindest in-)-jektivität nachgewisen zu haben. Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem y aus der Zielmenge ein x aus der Definitionsmenge gibt, so dass f(x) = y. Zu -1 gibt es z.B. kein solches x (jedenfalls in R).

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Aus x1^ 2 = x2^2 folgt x1 = x2 oder x1 = - x2, also keine Injektivität, es sei denn, man beschränkt die Definitionsmenge auf die positiven oder auf die negativen Zahlen

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Nachweis für Injektivität ist:

f(x1) = f(x2) → x1 = x2

da du weisst, dass y=x² nicht injektiv ist, genügt ein Gegenbsp.

f(-2)=f(2) = 4 aber -2 ungleich 2

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Kommentar von Ellejolka
11.09.2016, 20:21

bei Surjektivität für y=x² brauchst du ja auch nur ein Gegenbsp.

Umkehrfunktion y= wurzel(x)    für -3 nicht reell

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f(x)=x^2 ist nicht injektiv...

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Kommentar von CrazyD800
12.09.2016, 11:39

Da habe ich mmich aus Versehen verschrieben

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