Wieso ist bei der 2. alles korrekt und bei der 3. nur surjektiv?
Hallo an alle,
kann mir jemand erklären, wieso bei Aufgabe 2. die Funktion alles richtig ist und bei der 3. nur surjektiv? Der Wertebereich bei der 3. ist doch größer.
Vielen dank.
Bei 2. ist die Funktion surjektiv - ist doch auch richtig angekreuzt? Was ist die Frage?
Verschrieben,entschuldige. Meine Frage ist eher wieso bei der 2. alles stimmt und bei der 3. nur surjektiv. Das verwirrt mich, da bei der 3. der Wertebereich ja größer ist.
5 Antworten
Bei 1: Die Funktion ist injektiv, weil es keinen Funktionswert gibt, der mehr als einmal angenommen wird (graphische Überprüfung: keine Parallele zur x-Achse schneidet den Graphen der Funktion mehr als einmal). Die Funktion ist nicht surjektiv, weil es Werte in der Zielmenge gibt, die nicht angenommen werden (z. B. 1 und -1). Graphisch kann man das auch überprüfen: Es gibt Parallelen zur x-Achse, die den Funktionsgraphen gar nicht schneiden.
Bei 2: Die Funktion ist ebenfalls injektiv, wie bei 1. Sie ist auch surjektiv, weil es für jeden Wert aus der Zielmenge einen Wert aus der Def-Menge gibt, jede Parallele zur x-Achse schneidet den Funktionsgraphen mindestens einmal.
Damit ist sie bijektiv, graphisch: jede Parallele zur x-Achse schneidet den Funktionsgraphen GENAU einmal.
Bei 3: Die Funktion ist jetzt nicht mehr injektiv, weil es jetzt Werte aus der Zielmenge gibt mit mehr als einem Wert aus der Def-Menge - graphisch: Es gibt Parallelen zur x-Achse, die den Graphen MEHR als einmal schneiden.
Und zur Größe der Definitionsmenge: Das ist genau der Effekt. Wird die Definitionsmenge "größer", dann kann eine bisher nicht surjektive Funktion surjektiv werden, weil es jetzt ja "neue" Werte aus der Definitionsmenge gibt, die bisher "fehlende" Werte der Zielmenge treffen können. Ist sie schon surjektiv, ändert die Vergrößerung der Def-Menge das nicht, denn es wurden ja bereits alle Werte der Zielmenge getroffen.
Andersherum: Ist eine Funktion injektiv und man vergrößert den Definitionsmenge, dann kann es passieren, dass unter den "neuen" Elementen der Def-Menge welche sind, die auf Werte in der Zielmenge abgebildet werden, die schon vorher "getroffen" worden sind. Damit verliert die Funktion die Injektivität.
Und noch mal andersherum: Definitionsmenge kleiner machen -> Surjektivität KANN (aber muss nicht) verloren gehen, Injektivität KANN (aber muss nicht) dazu kommen.
Vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen das Thema Allgemein zu verstehen.
Basierend auf deinen Kommentaren:
Im Intervall von -PI bis +PI kann die Funktion schon mal gar nicht bijektiv sein (genauer: Sie ist nicht injektiv, daher kann sie nicht bijektiv sein).
Bijektivität hat nichts damit zu tun, ob das Intervall größer oder kleiner ist, sondern die Bijektivität besagt: Auf jeden Wert des Ziel-Intervalls wird abgebildet und das nur von genau einem Wert des Definitionsbereichs. Oder anders gesagt:
Jeder Wert aus dem Wertebereich wird maximal genau einmal angenommen (Injektivität) UND jeder Wert aus dem Wertebereich wird auch angenommen (Surjektivität).
Am Graphen kann man ja schon sehen, dass im Intervall -PI/+PI alleine die 0 schon mehrfach angenommen wird.
In diesem Fall macht also in der Tat die Vergrößerung des Definitionsbereichs die Bijektivität sogar kaputt.
Bei 3. ist die Funktion nicht injektiv, weil die Funktionswerte mehrfach vorkommen.
Z.B. für f(x)=0 gibt’s 3 verschiedene x-Werte, x=-pi, x=0 und x=pi, für die f(x)=0 ist.
Vielen Dank. Lerne diese Thematik gerade ganz neu. Das hat mir sehr geholfen
Mal bei x= -π/4 und x=π/4 einen Strich nach unten bis er den Graphen trifft und nach rechts bis zur y-Achse. Es fehlt ein Bereich vom Schnittpunkt bis zur 1 (oder -1)
Damit gibt es y-Werte in der Zielmenge die für die definierte Menge M nicht als Ergebnis vorkommen -> Die auf das Intervall -π/4 und x=π/4 eingeschränkte Abbildung ist nicht surjektiv.
Meinst du jetzt 1, 2 oder 3?
Wenn alle Werte der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen werden, dann ist sie surjektiv.
Verschrieben,entschuldige. Meine Frage ist eher wieso bei der 2. alles stimmt und bei der 3. nur surjektiv. Das verwirrt mich, da bei der 3. der Wertebereich ja größer ist.