Ist folgende Funktion surjektiv auf (0, unendlich)?
Ist das offene Intervall (0, unendlich) gemeint als Definitionsbereich oder Wertebereich?
Beides
2 Antworten
Der Grundbereich dürfte die Menge der reellen Zahlen sein.
Da der Term ln(x) im Funktionsterm auftaucht, ist f(x) für x <= 0 nicht definiert. Damit ist (0, unendlich) der (maximale) Definitionsbereich.
f(x) lässt sich in ein Produkt zerlegen: f(x) = g(x) * h(x), mit
g(x) = exp(ln(x)) = x
h(x) = sin(x)
sin(x) nimmt alle Werte zwischen -1 und +1 (jeweils einschließlich) an.
Damit sollte sich leicht nachweisen lassen, dass es für jedes reelle M > 0 ein x > 0 gibt, sodass f(x) > M oder/und f(x) < M ist.
Da f sich als Kombination von Summen, Produkten und Verkettungen stetiger Funktionen darstellen lässt, ist f ebenfalls stetig.
Damit sollte sich nachweisen lassen, dass der Wertebereich die komplette Menge der reellen Zahlen ist.
Google sagt, dass jedes Element der Zielmenge ein nichtleeres Urbild haben muss. Fragt sich nur, was die Zielmenge ist. Falls ganz IR, erfüllt die Funktion nicht das Kriterium, denn alle negativen Zahlen können durch e^y nicht erreicht werden.
Gut, man kann sich natürlich die Zielmenge immer so definieren, dass es passt, indem man Zielmenge = Wertemenge setzt.
War eigentlich nur als Anmerkung gedacht, dass meistens davon ausgegangen wird, dass die Zielmenge IR ist, dabei muss sie das nicht sein.
Surjektivität hat mit Stetigkeit nicht viel am Hut, außer dass du mit dem Zwischenwertsatz oder so arbeiten könntest.
Gut, man kann sich natürlich die Zielmenge immer so definieren, dass es passt, indem man Zielmenge = Wertemenge setzt.
Ist das nicht ein Widerspruch zu:
Wähle
f: {1, 2, 3} |-> {1, 2, 3}
x -> x
So passt es nicht.
Wie meinst du das? Dein Beispiel müsste doch die Kriterien von Surjektivität erfüllen?
f: {1, 2, 3} → {1, 2, 3, 4}
x → x
hingegen nicht. Die Wertemenge (Bildmenge) ist {1,2, 3}, die Zielmenge {1,2,3,4}. Man hat die Zielmenge quasi unnötig aufgebläht.
f: {1, 2, 3} |→ {1, 2, 3}
x → 2x
Das wollte ich eig. Schreiben. Wollte damit deine Formulierung kritiseren
Zielmenge=Wertemenge
Wäre ein möglicher Ansatz auch die strene Monotonie und Stetigkeit?