Aufgabe rotationskörper?

1 Antwort

Willy1729
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
rechnen, Funktion, Ableitung
10.05.2025, 19:07

Hallo,

läßt Du eine Kurve um die y-Achse rotieren, lautet die Formel für das Volumen des Rotationskörpers V=pi*Integral (f(x))²dx.

Das erste Glas wird zwischen x=0 und x=12 von der Kurve f(x)=Wurzel ((4/3)x) berandet.

Du bildest das Quadrat der Funktionsgleichung, was bei einer Wurzel besonders einfach ist; man läßt die Wurzel einfach weg.

(f(x))²=(4/3)x.

4/3 ist ein konstanter Faktor, der vor das Integral gezogen werden kann.

V=(4/3)pi*Integral x*dx.

Das Integral von f(x)=x ist bekanntlich F(x)=(1/2)x². Die Integrationskonstante C kannst Du Dir hier getrost schenken; die würde bei der Volumenberechnung eh verschwinden.

Du rechnest also (4/3)pi*(1/2)x² in den Grenzen von 0 bis 12.

Da es in diesem Bereich keine weiteren Nullstellen außer x=0 gibt und F(0)=0, reicht es, einfach (4/3)*pi*F(12) =(2/3)*pi*12²=301,6 cm³ zu berechnen. Das ist das (leicht aufgerundete) Fassungsvermögen des bis zum Rand gefüllten Glases.

Herzliche Grüße,

Willy