Wie löse ich dieses Integral?

Hallo, ich habe Schwierigkeiten beim Lösen dieses Integrals und würde mich freuen, wenn mir jemand den Lösungsweg erklären könnte.

Answer 1

[eterneladam]

Zerlege das (wie von Tannibi vorgeschlagen) in zwei Brüche,

4/(x + 5) + 1/(x - 3),

welche man leicht integrieren kann.

Comments

[Alexisthebest]

Danke

Answer 2

[Rammstein53]

Geh auf https://www.integralrechner.de und gebe dort die Funktion

(5x-7)/(x^2+2x-15)

ein. Neben der Lösung wird auch der Rechenweg angezeigt.

Comments

[Alexisthebest]

Danke

Answer 3

[mihisu]

Hinweis: Partialbruchzerlegung

Nebenrechnung:

$x^2+2x-15=0$

$\Leftrightarrow\quad x=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-4\cdot\left(-15\right)}$

$\Leftrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{16}$

$\Leftrightarrow\quad x=-1\pm 4$

$\Leftrightarrow\quad x=-5\ \vee\ x=3$

Dementsprechend ist...

$x^2+2x-15=\left(x+5\right)\cdot \left(x-3\right)$

Nun kann man beim Integranden eine Partialbruchzerlegung durchführen...

$\frac{5 x-7}{\left(x+5\right)\cdot\left(x-3\right)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-3}$

$\Leftrightarrow\quad 5x-7=A\cdot \left(x-3\right)+B\cdot \left(x+5\right)$

$\Leftrightarrow\quad 5x-7=A\cdot x-3\,A+B\cdot x+5\,B$

$\Leftrightarrow\quad 5x-7=\left(A+B\right)\cdot x-3\,A+5\,B$

$\Leftrightarrow\quad 5=A+B\ \wedge\ -7=-3\,A+5\,B$

$\Leftrightarrow\quad A=5-B\ \wedge\ -7=-3\cdot \left(5-B\right)+5\,B$

$\Leftrightarrow\quad A=5-B\ \wedge\ -7=-15+3\,B+5\,B$

$\Leftrightarrow\quad A=5-B\ \wedge\ 8=8\,B$

$\Leftrightarrow\quad A=5-B\ \wedge\ B=1$

$\Leftrightarrow\quad A=4\ \wedge\ B=1$

Nach Partialbruchzerlegung hat man dann beim Integranden Summanden der Form...

$\frac{A}{x-x_0}$

... wozu man...

$A\cdot \ln(\left\lvert x-x_0\right\rvert)$

... als entsprechende Terme für eine Stammfunktion angeben kann.

Damit erhält man dann schließlich...

$\int\frac{5x-7}{x^2+2x-15}\,\text{d}x$

$= \int\left(\frac{4}{x+5}+\frac{1}{x-3}\right)\,\text{d}x$

$= 4\cdot \ln\left(\left\lvert x+5 \right\rvert\right)+\ln\left(\left\lvert x-3 \right\rvert\right)+C$

Comments

[Alexisthebest]

Danke