Wie integriert man eine zusammengesetzte Funktion?

Hallo Zusammen

Ich frage mich, wie man eine zusammengesetzte Funktion integriert (z.B (2x+3)*e^x).

Wie geht die Aufleitung? Muss ich dafür den Formansatz mit Koeffizientenvergleich nehmen oder geht es einfacher?

Herzlichen Danke

Answer 1

[mihisu]

Man könnte, wie von dir angesprochen, einen entsprechenden Formansatz und Koeffizientenvergleich machen.

Oder man könnte auch mit partieller Integration arbeiten...

$\int\limits g(x)\cdot h'(x)\,\text{d}x=g(x)\cdot h(x)+C-\int\limits g'(x)\cdot h(x)\,\text{d}x$

[https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration]

Im konkreten Fall...

$\int\limits \underbrace{\left(2x+3\right)}_{g(x)}\cdot \underbrace{\text{e}^x}_{h'(x)}\,\text{d}x=\underbrace{\left(2x+3\right)}_{g(x)}\cdot \underbrace{\text{e}^x}_{h(x)}+C_1-\int\limits \underbrace{2}_{g'(x)}\cdot \underbrace{\text{e}^x}_{h(x)}\,\text{d}x$

$=\left(2x+3\right)\cdot \text{e}^x+C_1-2\cdot \int \text{e}^x\,\text{d}x$

$=\left(2x+3\right)\cdot \text{e}^x+C_1-2\cdot \left(\text{e}^{x}+C_{2}\right)$

$=\left(2x+3\right)\cdot \text{e}^x-2\cdot \text{e}^{x}+\underbrace{C_1-2\cdot C_{2}}_{C}$

$=\left(2x+3-2\right)\cdot \text{e}^x+C$

$=\left(2x+1\right)\cdot \text{e}^x+C$

[Wenn es nur um irgendeine Stammfunktion geht, statt um alle Stammfunktionen, so kann man die Konstanten C₁, C₂, C weglassen. Dann wird es etwas kürzer bzw. übersichtlicher.]

Comments

[Chelsea505]

wieso wird aus c1-2*c2=c? müsste es nicht -c dann sein, oder vertue ich mich da gerade?

[mihisu]

@Chelsea505

Da habe ich einfach C₁ - 2 C₂ zusammengefasst und als C umbenannt.

============

Und warum sollte ich dann deiner Ansicht nach „-c“ erhalten?

Stattdessen hätte man auch - (C₁ - 2 C₂) als C zusammenfassen können, sodass dann (2x + 1) ⋅ e^x - C richtig wäre. Aber warum hätte ich das so tun sollen?

[Chelsea505]

@mihisu

ach klar, sorry habe mich vertan

[Nael28]

Danke vielmals für die ausführliche Erklärung

Answer 2

[Chelsea505]

einerseits könntest du es mit der partiellen Integration machen, wäre möglicherweise ein Ansatz