Welche Berechnung ist korrekt?
Also Folgendes:
Eine Kugel mit homogener Dichte d liegt mit ihrem Mittelpunkt bei {R, 0, 0} und diese rotiert dann um die z-Achse.
Jetzt dachte ich mir, dass man die Kugel in unendlich dünne Scheiben zerlegen und deren Trägheitsmomente aufsummieren könne.
Jede Scheibe hat einen Radius r', und daraus resultierend ein Trägheitsmoment von d*2Pi*(x²+r²)*r dr * dx in den Grenzen von 0 bis r'.
Dann erhält man zunächst Pi*(x²r² + r^4/2) dx.
(Denn jeder Punkt der Scheibe hat einen Abstand zur z-Achse von x²+r² und jeder Punkt eines Kreissegments der Scheibe hat diesen Abstand, weswegen man noch mit 2Pi multiplizieren muss).
Aber r' lässt sich ja durch die Funktion sqrt(R² - (x-R)²) = sqrt(2Rx - x²) beschreiben.
Wenn man diese Funktion jetzt in Pi*(x²r² + r^4/2) für r einsetzt und von 0 bis 2R über x integriert, erhält man 32Pi*d*R^5/15.
d = m/(4PiR³/3)
Daraus folgt I = 8mR²/5
Wieso sagt mir jetzt chatgpt die ganze Zeit, dass das Trägheitsmoment das normale Trägheitsmoment einer Kugel (2mR²/5) + mR² (Satz von Steiner) = 7mR²/5 sei, wo doch aus der Berechnung insgesamt 8mR²/5 herauskommt?
Was ist nun richtig?
Oma
5 Antworten
Ich weiß nicht genau, was du da machst, aber: Bedenke, dass Punkte auf kreisförmigen Scheiben einer Kugel nicht einen konstanten Abstand zu einer Achse haben.
chatGPT hat (leider) Recht, daher muss der Fehler bei dir liegen. Vielleicht solltest du dir bei deinem Ansatz klar werden, ob du Zylinderkoordinaten oder kartesische Koordinaten verwendest (was ist x, in welchen Grenzen?), in kartesischen Koordinaten dürfte das deutlich ekliger werden als du es notiert hast.
Kannst du einmal einfach aufschreiben, mit welchen Grenzen über welche Funktion du wie genau integrierst? Also einfach als Formel? Dann könnte man schauen, wo der Fehler liegt.
Vielleicht hast du dich einfach nur verrechnet irgendwo?
Ich hatte das auch erst über deinen Ansatz versucht, mich da aber andauernd vertan, da kam am Ende nicht das richtige raus.
Ich habe deine Rechnung nicht ganz genau nachvollzogen, aber irgendwo mußt du einen Fehler gemacht haben.
Also ich hab es so gemacht, dass ich jede kreisförmige Kugelsektion in unendlich viele Kreise mit Radius r' eingeteilt habe. Jeder dieser Kreise hat bekanntlich einen Umfang von 2Pi*r, und jeder Punkt zusätzlich noch das Abstandsquadrat von (x² + r²) zur z-Achse. (Und jede Scheibe hat noch die Dicke dx, aber die käme erst im nächsten Integral vor). Sprich man hat Integral(2Pi*(x²+r²)r dr), in den Grenzen von 0 bis r'. Besser gesagt, von 0 bis r'(x), denn r'(x) ist ja sqrt(R² - (x-R)²) = sqrt(2Rx - x²). Wenn man das dann in diese erste Stammfunktion einsetzt und über x in den Grenzen von 0 bis 2R (denn die Kugel ist ja um einen ganzen Radius auf der x-Achse verschoben) integriert, kommt man am Ende auf 32Pi*d*R^5/15 (wobei d wie gesagt die Dichte der Kugel ist).
Wenn man jetzt für d einfach m/(4Pi*R³/3) einsetzt, erhält man 8mR²/5.
Oder was mache ich hier falsch?
ChatGPT kann nicht rechnen, insofern ist es unsinnig zu versuchen, dmait die Ergebnisse zu verifizieren.
Über die Kugel zu integrieren erscheint mir aber der richtige Weg zu sein.
Soweit ich das ergoogelt habe, hast du dich aber wohl irgendwo verrechnet:
https://itp.uni-frankfurt.de/~luedde/Lecture/Mechanik/Intranet/Skript/Kap7/node5.html
Das Ergebnis müsste
2/5 * m * R²
sein.
Ja, 2mR²/5 ist korrekt, wenn der Mittelpunkt der Kugel im Koordinatenursprung liegt. Aber in meinem Fall ist sie um genau einen Radius nach rechts auf der x-Achse verschoben
Okay, habe es jetzt nor mal gerechnet (diesesmal ohne Fehler). Ersteinmal für den Fall mit der Achse in der Mitte der Kugel.
Das Kugelintegral berechnet sich wiefolgt:
R = int(a=0; 2*pi; int(b=0; pi; int(r=0; R; f(r, a, b) * r² * sin(b))));
Wenn die Achse in der Mitte der Kugel ist, so berechnet sich der quafrierte Abstand davon wiefolgt:
f(r, a, b) = Abstand² = (-x)² + (-y)² = (-r * sin(b) * cos(a))^2 + (-r * sin(b) * sin(a))^2;
Das Ergebnis ist
8/15 * pi * R^5;
was dem Ergebnis aus dem Link entspricht (wenn man das teilen durch die Masse für die Dichteberechnung herausnimmt).
Verschiebt man die Rotationsachse an einen anderen Ort, so verändert sich die Funktion zur Berechnung der Entfernung von der z-Achse:
f(r, a, b) = Abstand² = (-x)² + (-y)² = (-r * sin(b) * cos(a) - R)^2 + (-r * sin(b) * sin(a))^2;
Rechnet man das aus kommt man auf:
28/15 * pi * R^5;
Das ergäbe dann, wenn man das mit der masse verrechnet
7/5 * M * R^2;
Demnach hatte ChatGPT wohl doch recht.
Dreht sich eine Kugel um eine Achse parallel zu z im Abstand von R, muss man zwei Trägheitsmomente berücksichtigen:
- die Kugel bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius R (Trägheitsmoment M*R²)
- die Kugel dreht sich auf der Kreisbahn einmal um sich selbst (Trägheitsmoment 2/5*M*R²)
Die Summe der beiden Trägheitsmomente lässt sich nicht mit einem einzigen Integral berechnen.
Dies gilt bereits für eine Kreisscheibe, deren Drehachse bei (R,0,0) liegt:
Die Drehung einer Kreisscheibe um sich selbst wird per Integral berechnet (=1/2*M*R²), darauf wird dann M*R² addiert.
1/2*M*R² + M*R² = 3/2*M*R² = 3/2*pi*R^4
Du integrierst fälschlich die Summe aus beiden, indem R² durch R² - z² ersetzt wird, wobei dann z von -R bis +R läuft:
Deshalb ist Dein Ergebnis zu gross.
Also ich hab es so gemacht, dass ich jede kreisförmige Kugelsektion in unendlich viele Kreise mit Radius r' eingeteilt habe. Jeder dieser Kreise hat bekanntlich einen Umfang von 2Pi*r, und jeder Punkt zusätzlich noch das Abstandsquadrat von (x² + r²) zur z-Achse. (Und jede Scheibe hat noch die Dicke dx, aber die käme erst im nächsten Integral vor). Sprich man hat Integral(2Pi*(x²+r²)r dr), in den Grenzen von 0 bis r'. Besser gesagt, von 0 bis r'(x), denn r'(x) ist ja sqrt(R² - (x-R)²) = sqrt(2Rx - x²). Wenn man das dann in diese erste Stammfunktion einsetzt und über x in den Grenzen von 0 bis 2R (denn die Kugel ist ja um einen ganzen Radius auf der x-Achse verschoben) integriert, kommt man am Ende auf 32Pi*d*R^5/15 (wobei d wie gesagt die Dichte der Kugel ist).
Wenn man jetzt für d einfach m/(4Pi*R³/3) einsetzt, erhält man 8mR²/5.