Trägheitsmoment von inhomogener Kugel berechnen?

3 Antworten

Der Schwerpunkt liegt auf der z-Achse? Das vereinfacht die Rechnerei etwas.

Das Trägheitsmoment ist die Summe der Trägheitsmomente der beiden Halbkugeln.

Das Trägheitsmoment einer Halbkugel ist 0,5 mal das der Ganzkugel.

Für die homogene Kugel steht das Trägheitsmoment in der Formelsammlung.

Für die inhomogene Kugel wirst Du wohl integrieren müssen. Ich würde dazu nachschauen, wie das Trägheitsmoment der homogenen Kugel durch Integration berechnet wird, und die Rechnung entsprechend anpassen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Für die senkrechte Achse, die durch den Schwerpunkt geht, kannst du das normale Trägheitsmoment für eine Kugel nehmen:


mit m = Gesamtmasse

Für eine Drehachse, die durch die Ebene der Trennfläche geht, kannst du den Satz von Steiner anwenden:



mit
s = Abstand zwischen Drehachse und Schwerpunkt

> das normale Trägheitsmoment für eine Kugel

Das gilt für eine Kugel mit homogener Verteilung der Masse - das besondere and er Aufgabe ist aber die inhomogene Verteilung.

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@TomRichter

Bei der senkrechten Achse spielt das keine Rolle. Müsste höchstens nochmal überlegen, ob für eine Querachse nicht doch besser sauber gerechnet wird, indem man die Masse und den Schwerpunkt jeder Halbkugel nimmt und dann beide über den Satz von Steiner aufaddiert.

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@TomRichter

Wobei die beiden Halbkugeln massiv sind und bei einer senkrechten Achse die Massenverteilung innerhalb jeder Hohlkugel der einer Vollkugel entspricht. Berechne ich das Massenträgheitsmoment jeder der Halbkugeln getrennt und addiere diese dann, läuft das auf eine Addition der beiden Massen hinaus, da die Drehachse durch die Schwerpunkte beider Halbkugeln geht, und dann kann ich gleich die Gesamtmasse der Kugel verwenden.

Wie gesagt, bei einer Querachse müsste man ausrechnen, ob die vereinfachte Betrachtung zulässig ist oder nicht. Wenn ich Zeit und Lust habe, mache ich das vielleicht noch.

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@Hamburger02

Ich glaube, wir interpretieren die Aufgabe unterschiedlich. Du schreibst

> die Massenverteilung innerhalb jeder Hohlkugel der einer Vollkugel entspricht.

gemeint war wohl Halbkugel und nicht Hohlkugel - aber laut Aufgabe ist die obere Halbkugel im Gegensatz zur unteren eben nicht homogen.

Ich lese für die obere Kugel eine Massenverteilung dergestalt aus der Aufgabe, dass die Dichte des Materials im Kern 0 sei und linear mit dem Radius zunehme, bis sie an der Außenseite ihr Maximum erreicht:
> Dort beträgt die Massendichte M/(PI*R^4)*r

Mit R = Radius der Kugel und r = Ort des Punktes, um dessen Dichte es geht.

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@TomRichter

Da hast du offensichtlich recht, nachdem ich die Aufgabe unter diesem Aspekt nochmal neu betrachtet habe...lesen hilft.

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