Trägheitsmoment von inhomogener Kugel berechnen?
Ich soll das Trägheitsmoment einer Kugel berechnen, dessen Massendichte in der oberen Kugelhälfte nicht konstant ist. Dort beträgt die Massendichte M/(PI*R^4)*r. In der unteren Kugelhälfte ist die Massendichte konstant und beträgt 3M/(4PIR^3). Den Schwerpunkt der gesamte Kugel habe ich berechnet und der liegt bei z=1/80 R. Wie muss ich jetzt fortfahren? Das Trägheitsmoment soll bezüglich der z-Achse berechnet werden.
3 Antworten
Für die senkrechte Achse, die durch den Schwerpunkt geht, kannst du das normale Trägheitsmoment für eine Kugel nehmen:
mit m = Gesamtmasse
Für eine Drehachse, die durch die Ebene der Trennfläche geht, kannst du den Satz von Steiner anwenden:
mit
s = Abstand zwischen Drehachse und Schwerpunkt
Bei der senkrechten Achse spielt das keine Rolle. Müsste höchstens nochmal überlegen, ob für eine Querachse nicht doch besser sauber gerechnet wird, indem man die Masse und den Schwerpunkt jeder Halbkugel nimmt und dann beide über den Satz von Steiner aufaddiert.
Der Extremfall einer inhomogenen Kugel wäre eine Hohlkugel - und die hat bekanntlich ganz unabhängig von der Achse ein größeres Trägheitsmoment als eine Vollkugel gleicher Größe und Masse:
http://www.texercises.com/exercise/tragheitsmoment-einer-hohlkugel/
Wobei die beiden Halbkugeln massiv sind und bei einer senkrechten Achse die Massenverteilung innerhalb jeder Hohlkugel der einer Vollkugel entspricht. Berechne ich das Massenträgheitsmoment jeder der Halbkugeln getrennt und addiere diese dann, läuft das auf eine Addition der beiden Massen hinaus, da die Drehachse durch die Schwerpunkte beider Halbkugeln geht, und dann kann ich gleich die Gesamtmasse der Kugel verwenden.
Wie gesagt, bei einer Querachse müsste man ausrechnen, ob die vereinfachte Betrachtung zulässig ist oder nicht. Wenn ich Zeit und Lust habe, mache ich das vielleicht noch.
Ich glaube, wir interpretieren die Aufgabe unterschiedlich. Du schreibst
> die Massenverteilung innerhalb jeder Hohlkugel der einer Vollkugel entspricht.
gemeint war wohl Halbkugel und nicht Hohlkugel - aber laut Aufgabe ist die obere Halbkugel im Gegensatz zur unteren eben nicht homogen.
Ich lese für die obere Kugel eine Massenverteilung dergestalt aus der Aufgabe, dass die Dichte des Materials im Kern 0 sei und linear mit dem Radius zunehme, bis sie an der Außenseite ihr Maximum erreicht:
> Dort beträgt die Massendichte M/(PI*R^4)*r
Mit R = Radius der Kugel und r = Ort des Punktes, um dessen Dichte es geht.
Da hast du offensichtlich recht, nachdem ich die Aufgabe unter diesem Aspekt nochmal neu betrachtet habe...lesen hilft.
Der Schwerpunkt liegt auf der z-Achse? Das vereinfacht die Rechnerei etwas.
Das Trägheitsmoment ist die Summe der Trägheitsmomente der beiden Halbkugeln.
Das Trägheitsmoment einer Halbkugel ist 0,5 mal das der Ganzkugel.
Für die homogene Kugel steht das Trägheitsmoment in der Formelsammlung.
Für die inhomogene Kugel wirst Du wohl integrieren müssen. Ich würde dazu nachschauen, wie das Trägheitsmoment der homogenen Kugel durch Integration berechnet wird, und die Rechnung entsprechend anpassen.
Das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse ist gesucht.
> das normale Trägheitsmoment für eine Kugel
Das gilt für eine Kugel mit homogener Verteilung der Masse - das besondere and er Aufgabe ist aber die inhomogene Verteilung.