Normalverteilung exakten Wert berechnen?
Hallo liebe Community,
Ich habe letztens gelernt, dass bei stetig verteilten Zufallsgrößen einzelne Werte immer die Wahrscheinlichkeit 0 haben, da sie sich im Integral zu 0 subtrahieren.
Was ich mich jetzt frage: Kann ich bei einer normalverteilten Zufallsgröße dann nicht einfach nur in die Dichtefunktion (also nicht das Integral) einsetzen? Dadurch würde ich dann ja praktisch eine exakte Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert erhalten, oder?
Lg
2 Antworten
Den Wert p = f(x) einer Dichtefunktion f als Wahrscheinlichkeit von x zu betrachten, ist nur bei diskreten Verteilungen möglich. Bei einer stetigen Dichtefunktion kann z.B. auch f(x) > 1 für einzelne x gelten. Das widerspricht nicht der Bedingung
Zum Verständnis: die Körpergrösse eines Menschen ist normalverteilt. Man kann z.B. berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Grösse von 180 cm auftritt (auf ein Zentimeter genau), oder auf 1 Millimeter oder 1 Micrometer genau. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Körpergrösse exakt bei 180 + π liegt, ist jedoch Null. Es läuft also immer darauf hinaus, die Dichtefunktion über ein Intervall zu integrieren.
Wie soll das gehen?
Die Dichtefunktion selber liefert doch gar keine Wahrscheinlichkeit. Sie ist doch gerade so konstruiert, dass man mit ihr für ein gegebenes Intervall die Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
Was genau willst du denn berechnen? Du beschreibst völlig korrekt, dass bei einer stetigen Dichtefunktion für einen einzelnen Wert immer die Wahrscheinlichkeit 0 heraus kommt, aber du suchst trotzdem einen anderen Wert?
Danke, mein Satz oben ist dann doch damit richtig oder?
Die Dichtefunktion allein hat bei einer stetiger Verteilung nichts mit einer Wahrscheinlichkeit zu tun. Das gilt immer nur für deren bestimmtes Integral.
Nur hast nur dann Recht, wenn Du das Integral der Dichtefunktion über das Intervall [x,x] berechnest. Das ergibt für alle x Null, und damit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis x gleich Null.
Das war mir irgendwie nicht bewusst. Ich möchte dann folgenden Satz festhalten:
Es ist bei stetig verteilten zufallsgrößen nie möglich, eine andere Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert als 0 zu finden, oder?