Wieso gibt es mehr als zwei Lösungen?
Auf die ersten zwei Lösungen komme ich drauf…
Aber warum ist da noch X₃,₁ und X₄,₁?😭
2 Antworten
In einer Periode nimmt eine Sinus- oder eine Kosinusfunktion alle Werte zweimal an, einmal beim "Runterschwingen", dann wieder beim "Hochschwingen".
(Ausnahmen sind die jeweiligen Maxima oder Minima, die gibt es per Periode nur einmal.)
So weit, so gut.
Der springende Punkt ist hier die Periodenlänge.
Eine Standardsinus- odef -kosinusfunktion hat eine Periodenlänge von 2π.
Wenn vor dem x ein Faktor steht, dann wird die Periodenlänge durch diesen Faktor gekürzt.
Die Funktion cos(x) hat also eine Periodenlänge von 2π, aber die Funktion cos(πx) hat eine Periodenlänge von nur 2.
Du hast die zweite Funktion vorliegen (mit einem Formfaktor und einer vertikalen Verschiebung, aber die sind für die Periodenlänge unerheblich).
Dein Intervall hat aber eine Länge von 4, d.h. das sind exakt zwei Perioden!
Da die Funktion, wie im ersten Absatz erklärt, jeden gültigen Funktionswert (außer den Extrema) in einer Periode zweimal annimmt, geschieht dies in zwei Perioden viermal. 😀
Die Lösungen x₃ und x₄ sind auch genau um eine volle Periodenlänge, d.h. um 2, gegenüber der Lösungen x₁ und x₂ verschoben.
Vielleicht hilft das für die "warum" Frage:
Die Periode ist 2. Also darfst du zu jeder Lösung ein ganzzahliges Vielfaches von 2 dazuzählen und bekommt wieder eine Lösung.
