integral mathematik?
Gegeben f(x)= 10xe^-1/2x
Ich verstehe nicht wie ich dort vogehen soll kann mir das jemand erklären ?
Der Graph von f schließt mit der x Achse auf dem Intervall [0;a] eine Fläche ein.
Für welchen Wert von a beträgt der Flächeninhalt 35 .
4 Antworten
Hallo,
F(x)=-20*e^(-0,5x)*(x+2)+C
Soweit hast Du es richtig.
Das Integral der unteren Grenze 0 auszurechnen ist einfach, da e^(-0,5*0) natürlich gleich e^0=1 ist.
So bleibt -20*(0+2)=-40
F(a)-(-40)=35
F(a)=-5 und somit:
-20*(e^-0,5a)*(a+2)=-5 |:(-20)
e^(-0,5a)*(a+2)=0,25
Jetzt kommt das Problem:
Diese Gleichung ist nicht trivial lösbar, weil das a einmal als Faktor und einmal als Exponent erscheint, sprich: Du kannst diese Gleichung nicht nach a auflösen.
Es bleibt also ein Näherungsverfahren wie Newton oder ein Taschenrechner, der Integrale berechnen kann, mit dessen Hilfe Du Dich an a herantastest oder es gibt die Lambertsche W-Funktion, die zu einer Gleichung der Form x*e^x=y tatsächlich den dazugehörigen x-Wert ausspuckt, also die Umkehrfunktion von f(x)=x*e^x darstellt. Allerdings ist die Lambertsche W-Funktion selbst auch nicht trivial lösbar; es gibt aber Programme dafür.
Du mußt also die Gleichung e^(-0,5a)*(a+2)=0,25
in eine Gleichung der Form u*e^u=c umstellen, wobei c eine Zahl ist, die nicht mehr von einer Variablen abhängt.
Dazu multiplizierst Du die Gleichung zunächst mit -0,5, damit der Faktor dem Exponenten gleich wird. Du mußt aus dem Faktor a ein -0,5a machen:
e^(-0,5a)*(-0,5a-1)=-0,125
Nun mußt Du noch die -1 aus dem Faktor in den Exponentne bekommen, indem Du mit e^(-1) multiplizierst, denn a^x*a^y=a^(x+y):
e^(-0,5a-1)(-0,5a-1)=-0,125e^(-1)=-0,04598493015
Diesen Wert gibst Du in ein Programm ein, das Lambert-W beherrscht und bekommst für (-0,5a-1) zwei Lösungen:
-0,5a-1=-0.0482585 und -0,5a-1= -4.60702354
Das nach a aufzulösen sollte kein Problem mehr darstellen.
Da anscheinend eine Fläche rechts von der y-Achse gesucht ist, nimmst Du die positive Lösung von a.
a=7,21404708
Auf der linken Seite bekommst Du die gleiche Fläche, wenn Du für a den Wert
-1,90348298 einsetzt.
Herzliche Grüße,
Willy
Lambert W kann der Taschenrechner nicht.
Integrale sollte er können oder Gleichungen lösen.
Da mußt Du Dir die Beschreibung des Rechners durchlesen.
Hallo, ich habe vom Taschenrechner -1,90348... raus wie komme ich auf a= 7,21404...
Der Taschenrechner benutzt ein Näherungsverfahren und liefert die Lösung, die seinem internen Stratwert am nächsten kommt.
Du mußt Dich über die Integralfunktion an die obere Grenze herantasten.
Liegt dein Problem bei dem Exponenten, also wenn da steht e^(-a/2)
e^(1/2) ist die Quadratwurzel aus e (einfach eine andere Schreibweise)
e^(2/3) ist die Qubikwurzel aus e²
e^(-1/2) ist 1/( die Quadratwurzel aus e )
und jetzt alles zusammen:
e^(-a/2)= 1/(die Quadratwurzel aus e^a )
Hilft dir das Weiter?
Meinst du e^((-1/2)x) oder e^(-1/(2x)) ?
Als erstes würde ich die Stammfunktion berechnen.
Dann die Grenzen einsetzen, also 0 und a, und den Wert errechnen.
Du wirst irgendeinen Term erhalten, wo a drin vorkommt.
Diesen Term setzt du dann =35 und stellst nach a um.
Soweit klar ?
Die Stammfunktion lautet -20(x+2)*e^-1/2x und wenn ich in a einsetze weiß ich nicht wie ich umformen soll
f(x)= 10x e^-1/2x
So wie du das geschrieben hast, lautet f(x) = 10*x/(2*x*e) = 5/e , das ist eine Konstante.
Sollte dies nicht so gemeint sein, benutze den Formeleditior hier oder setze Klammern, damit korrekt abzulesen ist, was du meinst.
Was du hier schreibst, bedeutet
10x e-x/2
ich nehme aber an, auch das meinst du nicht, oder? Nochmal: setze die Klammern korrekt, dann sparst du dir die Formatiererei.
Vorgangsweise wie von Igrid beschreiben.
Und steht das x im Exponenten unter dem Bruchstrich, also 1/(2x), oder nicht, also wie (1/2)*x. Das ist ein Unterschied und für die Berechnung der Aufgabe wichtig
danke aber ,das ist echt kompliziert habe ein taschenrechner geht das nicht einfach mein taschenrechner : casio fx cg 20