Integral mit Parameter?
Hey ,
Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie k so, dass der Graph der Funktion f mit der x-Achse eine Fläche vom angegebenen Flächeninhalt A einschließt.
f(x)= x²-kx
A=36
Mein Lösungsansatz:
(Wenn ich k in die Stammfunktion einsetze komme ich nicht mehr weiter..)
3 Antworten
Die Funktion f(x) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der Fragesteller will wahrscheinlich darauf hinaus, die Integralgrenzen auf die beiden Nullstellen der Parabel zu legen. Hier ist zu beachten, dass das bestimmte Integral negativ wird, weil zwischen den Nullstellen f(x) < 0 gilt.
Die Nullstellen von f(x) sind 0 und k.
Das bestimmte Integral lautet somit
A = | F[k] - F[0] |
Wegen F[0] = 0 gilt dann
A = | F[k] | = | 1/3 * k^3 - k/2 * k^2 | = | 1/3 * k^3 - 1/2 * k^3 | = | - 1/6 * k^3 |
Wegen A = 36 folgt k = 6 oder k = -6
Was ist denn F(0) und was F(k)? Du mußt f'(k) = 36 nach k auflösen (da F(0) = 0)) und sich die Fläche (das Integral) zu F(k) - F(0) berechnet.
k/2*k²=k³/2.
(1/3)k³-(1/2)k³=(-1/6)k³.
(-1/6)k³=36
k³=-216
k=-6.
Allerdings führt k=-6 zu einer Fläche von -36 FE, weil sie unter der x-Achse liegt.
Für A=-36 findet sich auch noch die Lösung k=6.
Dagegen findet sich für A=36 keine Lösung. Alle Funktionen der Funktionenschar sind nach oben geöffnet, alle Scheitelpunkte liegen aber unterhalb der x-Achse. Die Funktionsgraphen können also nur unterhalb der x-Achse mit dieser eine geschlossene Fläche bilden.
Bei Integralrechnung in der Schule wird die Fläche grundsätzlich positiv betrachtet, da es keine "negativen Flächen" geben kann. Damit passt k = -6. Ich frage mich wo mein Kommentar hin verschwunden ist.
setz doch k ein
dann hast du
1/3 k³ - 1/2 k³ = 36
-1/6 k³ = 36
mit Betragstrichen dann
1/6 k³ = 36
k³ = 216
k = 6
F(k) ist mein Problem.. wie löse ich 1/3 k³ - k/2 k² nach k auf?