In welcher Richtung hat das Skalarfeld die größte Änderung?
Hallo.
Ich bearbeite im Moment im Rahmen meiner Klausurvorbereitung eine Aufgabe:
Ich sollte die Ableitung für einen bestimmten Punkt P( 0;-2;1) in Richtung Ursprung bilden ( also die normale Richtungsableitung mittels Gradient?).
Im 2.Teil ist dann die Frage, in welcher Richtung man sich von P bewegen muss, um in dem gegebenen Skalarfeld q (x,y,z)= sin ((x+y)/(y*z)) die größte Änderung zu erzielen.
Das wäre doch hierbei ebenfalls die Richtungsableitung oder etwa nicht?
3 Antworten
Für die Richtungsableitung nach dem Vektor â gilt:
dq/dâ = grad(q) * â/||â||
In deinem Fall wäre â = (0, 2, -1)^T, also der Vektor vom Punkt P zum Ursprung. Damit gilt [mit der Annahme q = sin((x+y)/y*z))]:
dq/dâ = [cos((x+y)/(y*z))/(y*z), cos((x+y)/(y*z))*((x*z)/(y²*z²)), -cos((x+y)/(y*z))*(x+y)/(y*z²)]^T * (0, 2/sqrt(5), -1/sqrt(5))^T =
= [-cos(-1)/2, 0, -cos(-1)]^T * (0, 2/sqrt(5), -1/sqrt(5))^T = cos(-1)/sqrt(5) =
= cos(1)/sqrt(5)
Um einen Vektor â zu finden, für den die Richtungsableitung maximal wird, kann man die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung verwenden:
||dq/dâ|| = ||grad(q) * â|| ≤ ||grad(q)|| * ||â||. Dieses Skalarprodukt ist am größten, wenn beide Vektoren in die gleiche Richtung zeigen.
Damit ist ja â = grad(q)/||grad(q)||, bzw. bei dir: â * sqrt(5) = [-1, 0, -2]^T
Nebenbei heißt das für die Richtungsableitung:
dq/dâ = grad(q) * grad(q)/||grad(q)|| = ||grad(q)||
Ohne Gewähr, und es würde mich interessieren, ob folgendes stimmt
Teil 1:
q/dx = cos ( (x+y)/yz ) / yz
q/dy = -x * cos ( (x+y)/yz ) / yyz
q/dz = -(x+y) * cos ( (x+y)/yz ) / yzz
Die Ableitungen sind nur für y != 0 und z != 0 definiert.
Weil es in Richtung Ursprung geht, kann man den Punkt P direkt einsetzen
grad q (0,-2,1) = ( -0.27... , 0, -0.54... )
vermutlich gilt (Nachweis fehlt)
grad q (0,-2,1) = ( -1, 0, -2 )
Teil 2:
Dazu gibt es folgenden mathematischen Satz
Angenommen, grad q ( P ) != 0, dann zeigt grad q ( P ) in die Richtung des größten Anstiegs von q im Punkt P.
Die gesuchte Richtung ist identisch mit dem Vektor grad q (0,-2,1).
Hallo,
um die Ableitung von Punkt P in Richtung des Vektors a eines Skalarfeldes zu berechnen, bildest Du aus den partiellen Ableitungen (also jeweils nach x, y und z) den Gradienten von P aus, indem Du die Komponenten des gegebenen Punktes einsetzt. Diesen multiplizierst Du mit dem Einheitsvektor von a, also mit a/|a|. Das Ergebnis ist die gesuchte Richtungsableitung, die Projektion des Gradienten auf den gegebenen Vektor.
Die größte Ableitung ist immer in Richtung des Gradienten gegeben.
Du mußt also nur die Koordinaten von P in den Gradienten einsetzen und das Ganze mit dem Einheitsvektor des Gradienten multiplizieren. Der Gradient eines Skalarfeldes von einem Punkt P aus geht immer in Richtung der größten Änderung.
Herzliche Grüße,
Willy