Wie kann man die folgende Gleichung nach x1 umstellen?
Das Problem stammt aus folgendem Optimierungsgedanken:
L(x1,x2, λ) = a x1^2 + b x1 x2 + c x2^2 - λ ( x1^2 + x2^2 - r^2)
Nun habe ich die First Order Conditions hergeleitet und ineinander eingesetzt, was mir folgendes Gleichungssystem ergibt:
b * x1^2 + (2c-2a) * x1 * x2 - b * x2^2 = 0
x1^2 + x2^2 = r^2
Die Frage, an der ich nun seit Stunden sitze und nicht mehr weiterkomme, wie löst man das möglichst simpel nach x2 auf?
Die Lösung des Problems sollte in irgendeiner Beziehung mit dem Eigenwerten zu tun haben, die ich vorher mal berechnen musste:
λ = (a+c)/2 +/- sqrt(a^2 - 2ac + c^2 - b^2) / 2
Weiss jemand, wie man das herleiten kann und in welcher Beziehung die Eigenwerte dazu stehen?
Es sollte natürlich "nach x1 bzw. x2 auflösen" heissen
Ist die Idee mit dem Lagrange Multiplikator von dir, oder ist das so vorgegeben? Denn es gibt einen simpleren weg.
Ja das ist von mir, da wir gerade das Thema behandeln. Wäre aber auch an sonstigen Lösungen interessiert. Kannst du mir sagen, wie du vorgehen würdest? Danke!
1 Antwort
Ich habe mal ChatGPT bemüht.
das wurde ausgespuckt.
ich habe leider absolut keine Ahnung, was das ganze bedeutet..
Um die Optimierungsfunktion L(x1,x2,λ)=ax12+bx1x2+cx22−λ(x12+x22−r2)L(x1,x2,λ)=ax12+bx1x2+cx22−λ(x12+x22−r2) nach x2x2 aufzulösen, können Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Das Ziel besteht darin, das Minimum oder Maximum von LL zu finden, unter der Nebenbedingung x12+x22=r2x12+x22=r2.
- Schreiben Sie die Lagrange-Funktion:
- L(x1,x2,λ)=ax12+bx1x2+cx22−λ(x12+x22−r2)L(x1,x2,λ)=ax12+bx1x2+cx22−λ(x12+x22−r2).
- Berechnen Sie die partielle Ableitung von LL nach x2x2 und setzen Sie sie gleich null, um das Extremum zu finden:
- ∂L∂x2=2cx2+bx1−2λx2=0∂x2∂L=2cx2+bx1−2λx2=0.
- Um nach x2x2 aufzulösen, isolieren Sie x2x2 in der obigen Gleichung:
- 2cx2−2λx2=−bx12cx2−2λx2=−bx1.
- x2(2c−2λ)=−bx1x2(2c−2λ)=−bx1.
- x2=−bx12(c−λ)x2=2(c−λ)−bx1.
- Beachten Sie, dass λλ die Lagrange-Multiplikator ist und durch die Nebenbedingung x12+x22=r2x12+x22=r2 bestimmt wird. Sie müssen daher auch die Nebenbedingung verwenden, um λλ zu finden.
- λ=ax12+bx1x2+cx22x12+x22−r2λ=x12+x22−r2ax12+bx1x2+cx22.
- Nachdem Sie λλ gefunden haben, setzen Sie es in die Gleichung für x2x2 ein, um den Wert von x2x2 zu berechnen:
- x2=−bx12(c−ax12+bx1x2+cx22x12+x22−r2)x2=2(c−x12+x22−r2ax12+bx1x2+cx22)−bx1.
Dies ist die Lösung für x2x2 unter Berücksichtigung der gegebenen Optimierungsfunktion und Nebenbedingung.