Hey, lieg bei einem Sattelpunkt nun strenge Monotonie oder nur „normale“ Monotonie vor?

Hey, ich suche schon tatsächlich extrem lange danach und überall wird es anders beantwortet. Was ist eure Meinung oder was stimmt denn nun davon?
Ich meine es stimmt, dass beispielsweise die Regel x1<x2 und f(x1)<f(x2) nicht verletzt wird. Aber zum anderen ist die Funktion trotzdem an einem Punkt waagerecht, was ja trotzdem für reine Monotonie spricht. Was stimmt denn nun?
Vielen Dank.

Answer 1

[Slevi89]

Es gilt erst einmal zu beachten, welchen Abschnitt du dir der Funktion anschaust.

x² ist beispielsweise auf $\left(-\infty,\ o\right]\$ streng monoton fallend, nicht aber auf $\left(-\infty,\ 1\right)$

Weiterhin wird die Monotonie nicht primär über die Ableitung bestimmt!

Zwar kann die Ableitung als Hinreichendes Kriterium genutzt werden, es ist aber nicht notwendig. Heißt: Es kann Funktionen geben, die streng monoton sind, aber trotzdem kann gelten f '(x0) = 0. Das ist zum Beispiel bei x³ der Fall.

Hier komme ich zu deiner Frage.

x³ hat einen Sattelpunkt, trotzdem ist die Funktion streng monoton steigend.

Abgesehen von den Gleichungen kann man sich auch einfach merken:

Egal wie klein du dein Argument vergrößerst, der zugehörige Funktionswert ist immer größer, als der davor.

Das ist nichts anderes als die Bedingung :

Wenn x<y , dann f(x) < f(y)

Der Beweis dafür sieht dann bei x³ so aus:

Vorrausetzung x < y

Fall 1:

x und y haben das gleiche Vorzeichen, dann

$x^3\ -y^3\ <0\$ über die dritte binomische Formel kann man das noch weiter aufteilen

$x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)\ <\ 0$ Über die Vorrausetzung das x<y ist, ist die erste Klammer immer negativ und die zweite klammer immer positiv (da der erste Fall sagt gleiches Vorzeichen). Und wie du weißt gilt minus mal plus = minus

Fall 2:

x und y haben unterschiedliches Vorzeichen

Dann folgt sofort das immer x³-y³ < 0 gilt.

Damit ist der Beweis der strengen Monotonie abgeschlossen