Von sin (x) = -0,5 zu x1 und x2 kommen?

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5 Antworten

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind Elemente der T-Periodischen Funktionen. Dies bedeutet, dass gilt:

f(x) = f(x + T)    mit f T-periodisch.

Der Sinus und der Kosinus besitzten an sich die Periode T = 2pi. Diesen Umstand kann man sich am Einheitskreis verdeutlichen. Es gilt also:

sin(x) = sin(x + 2pi)

Daraus folgern wir dann sofort, dass gelten muss:

sin(x) = sin(x + k*2pi)   mit k aus { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} = Z  (ganze Zahlen)


Wir wollen uns nun mit der Lösung folgender Gleichung beschäftigen:

sin(x) = y    mit  y aus [-1, 1] c IR

Um die Lösbarkeit dieses Problems zu verstehen beschäftigen wir uns zunächst mit der Umkehrbarkeit von Funktionen. Betrachte dazu zunächst folgendes Beispiel:

f(x) = x²

Angenommen wir haben die Gleichung:  x² = 1  gegeben und wollen diese nun nach x auflösen, so haben wir hier ein Problem. Man macht sich schnell klar, dass gilt:

(-1)² = 1² = 1  

wir erhalten also -1 und 1 als Lösungen für x. Dies bedeutet, dass wir keine Funktion g(x) finden können die folgende Eigenschaft besitzt:

g(f(x)) = x 

da hier unser f keine eindeutige Lösung besitzt !!! Betrachtet man jedoch f(x) = x² bspw. nur für positive Werte von x, so ist es möglich die Umkehrfunktion g zu f zu finden. Diese Funktion ist bekannt als "Quadratwurzel". Sie liefert die Lösung zu der Gleichung:

x² = y   für x aus [0, +inf)

Schließlich können wir aus Symmetriegründen die zweite Lösung durch die erste Ausdrücken:

x² = y  ---> (x²)^(1/2) = y^(1/2)

--> |x| = y^(1/2)  -->  x = y^(1/2)    oder   x = - y^(1/2)

(Wobei | . | den Absolutbetrag bezeichnet)


Wann ist nun eine Funktion umkehrbar? Stellt sich heraus, dass Monotonie die Antwort liefert. Ist eine Funktion f Monoton, so folgt:

Jedem X aus dem Definitionsbereich wird GENAU EIN y = f(x) aus dem Wertebereich zugeordet. Es folgt mit strenger Monotonie also Eindeutigkeit.

Es gilt bspw für f(x) = x²:

a² < b²  für b > a und  b,a aus (0, +inf) c IR

Die Funktion f ist also streng monoton steigend auf (0, +inf) und damit Umkehrbar (gegeben durch die Quadratwurzel).


Betrachtet man nun den Graphen der Sinus-Funktion, f(x) = sin(x):

https://www.google.de/search?q=sin(x)&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=1xm_WNrjMYO0a73nhJgK

So lässt sich am Graphen ablesen:

Die Funktion des Sinus ist streng monoton auf (-pi/2 , pi/2 ) und auf (pi/2, 3pi/2). Es lässt sich also eine Umkehrfunktion auf diesen angegeben Intervallen finden. Gegeben ist diese durch:

g(x) = arcsin(x)      g: [-1, 1] --> [-pi/2, pi/2]

Diese Funktion liefert uns jedoch nur eine Lösung auf [-pi/2, pi/2]. Analog jedoch zu dem Falle der Quadratwurzel können wir die Symmetrie des Problems ausnutzen. Man erkennt recht leicht, dass gilt:

sin(x) = sin(pi - x)

Somit können wir die Lösung der Gleichung:

f(x) = sin(x) = y   

angeben als:

x = arcsin(y)   oder  x = pi - arcsin(y)

Dies wären die beiden Lösungen auf dem Intervall [0, 2pi]. Insgesamt existieren unendlich viele Lösungen zu der angegeben Gleichung aufgrund der Periodizität der Funktion. Somit lassen sich ALLE Lösungen auf ganz IR in der Form:

x = arcsin(y) + k*2pi   oder   x = pi - arcsin(y) + k*2pi  

mit k aus { ..., -1, 0, 1, ...} = Z (ganze Zahlen)

angeben.


Siehe bspw die Lösung zu:  sin(x) = 0.8

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x)+%3D+0.8

(Unter "Solutions" , wobei sin^-1(...) = arcsin(...) )


Die Lösung der Gleichung:

cos(x) = y  verläuft übrigens analog. Hier ist der Kosinus jedoch auf (0, pi) und (-pi, 0) monoton. Die Umkehrfunktion ist gegeben durch:

g(x) = arccos(x)    g: [-1, 1] ---> [0, pi]

Die ausnutzbare Symmetrie auf [0, 2pi] ist gegeben durch:

cos(x) = cos(2pi - x)

Die Lösungen von  cos(x) = y folgen also zu:

x = arccos(y)   oder   x = 2pi - arccos(y)


Erweitert auf IR ergeben sich die Lösungen dann in der Form:

x = arccos(y) + 2pi*k   oder   x = 2pi - arccos(y) + 2pi*k

mit k aus { ... , -1, 0, 1, ... } = Z .

Sie bspw die Lösung zu: cos(x) = 0.8

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(x)+%3D+0.8

(Unter "Solutions" , wobei cos^-1(...) = arccos(...) )

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Um von sin(x) auf x zu kommen, wendest Du den arcsin an (sin^-1). Ist Dein Taschenrechner auf DRG (od. DEG je nach Rechner) eingestellt, kommt -30° raus. Das bedeutet, im Einheitskreis betrachtet, dass der Winkel nach unten abgetragen wird. Es sind also 360°-30°=330°. Da der sin die senkrechte Kathete darstellt, ist der entsprechende Winkel des "2. passenden Sinus" im 3. Quadranten bei 180°+30°=210°.

Nun entsprechen 360° im Einheitskreis 2pi. Dann sind 330°:
360°=2pi
330°=x
x=330 * 2pi / 360 = 330 * pi/180 = 11/6 pi

Das gleiche für 210°. Von diesen beiden x-Werten sind weitere Lösungen alle 2pi (alle 360°).

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Am besten kann man Trigonometrie anhand des Einheitskreises verstehen (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis). Auch das was Du genau suchst findest Du in diesem Wiki-Artikel.

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Das hat nichts mit der "p-q-Formel" bei quadratischen Gleichungen zu tun.

Du kannst diese Aufgabe aber durch Anschauen des Einheitskreises (Kreis um den Nullpunkt (0|0) mit Radius 1) lösen. Welche der Punkte auf der Kreislinie haben die y-Koordinate (Sinuswert)  -0.5 ?   Man sieht sofort, dass es genau 2 solche Punkte gibt, nämlich einen ersten beim Zentriwinkel  -30° oder  -π/6  (bzw. 2π - π/6 = 11π/6 )  und einen zweiten bei 180°+30° = 210° =  7π/6 .

Die Sinus- und Cosinuswerte für 0°, 30°, 45°, 60°,90° sollte man auswendig wissen und auch verstehen, wie es sich bei den entsprechenden Winkeln in den übrigen Quadranten verhält, insbesondere auch, was die Vorzeichen betrifft.

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Wie genau lautet die Gleichung?

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