Monotonie Graphen?
was können wir über die Monotonieeigenschaften auf dem schattierten Intervall sagen?
Mein Lehrer sagt,dass keine Monotonie gibt aber ich Stimme nicht zu. Da f(x1)>= f(x2) bzw umgekehrt ist gibt es doch monotones Fallen/Steigen.Die besitzen doch keine Knicks?
2 Antworten
Die Monotonie bezieht sich nicht nur darauf, dass f(x1) > oder < ist als f(x2), sondern auf die Steigung / das Wachstum. Das bedeutet eine Funktion ist monoton wachsend / fallend, wenn der Winkel der angelegten Tangente immer positiv / negativ (also bildlich, rechnerisch natürlich in Grad) ist, egal an welcher Stelle wir sie anlegen. Bei dem letzten Bild ist es bspw. so, dass die Funktion erst fällt, dann stagniert und dann wieder steigt. Das ist keine Monotonie.
Meinst du das oben links? Ist nicht ganz drauf, aber ich würde das als "streng monoton fallend" bezeichnen.
Was das "unten" links betrifft, so steigt / fällt sie zugleich, je nachdem wie man es betrachtet. Nimmt man wirklich nur den Bereich der schattiert ist, würde ich sie als monoton steigend bezeichnen, aber nicht als streng monoton steigend.
Das bedeutet eine Funktion ist monoton wachsend / fallend, wenn der Winkel der angelegten Tangente immer positiv / negativ (also bildlich, rechnerisch natürlich in Grad) ist
f(x)=x^3?
Die Definition über die Ableitung in dieser Form ist also nur hinreichend, aber eben nicht notwendig.
Was ist mit x^3?
x^3 hat immer eine positive Steigung. Sieht man schon an der Ableitung 3x^2. Egal welchen Wert ich für x einsetze, er wird immer positiv werden. x^3 ist also -x < 0 < x immer streng monoton steigend, eine angelegte Tangente würde immer eine positive Steigung haben.
Ich versteh nicht worauf du hinaus willst!?
Stimmt, deswegen sagte ich ja auch -x < 0 < x = streng monoton steigend und x als gesamtes ist monoton steigend (ohne Streng).
Nein, f(x)=x^3 ist in der Tat streng monoton, denn:
Für alle x<0 ist f(x)<0 für x=0 ist f(x)=0 und für alle x>0 ist f(x)>0. Das also f(x<0)<f(x=0)<f(x>0) gilt, liegt strenge Monotonie nach formaler Definition vor.
Nur dann wenn f(x) <=/>= f(x+dx) ist es nicht mehr streng monoton. Und das erkennt man eben leider an der Tangentensteigung alleine nicht mehr.
Deswegen ist die Beurteilung über die Tangente in der Regel hinreichend (wenn Tangente es zeigt, dann liegt immer Monotonie vor, aber die Umkehrung fehlt eben).
Details kann Du zum Beispiel hier lesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion#Ableitungen_als_Monotoniekriterium
Oder alternativ in einem Analysis-Buch wie dem Forster.
Für alle x<0 ist f(x)<0 für x=0 ist f(x)=0 und für alle x>0 ist f(x)>0. Das also f(x<0)<f(x=0)<f(x>0) gilt, liegt strenge Monotonie nach formaler Definition vor.
Genau das sagte ich doch mit -x < 0 < x = streng monoton
Nur dann wenn f(x) <=/>= f(x+dx) ist es nicht mehr streng monoton. Und das erkennt man eben leider an der Tangentensteigung alleine nicht mehr.
Genau! Doch warum erkenne ich das an der Tangentensteigung nicht? Leite ich die Funktion ab bekomme ich 3x^2. Die Tangentengleichung ist y = mx + b. Lege ich nun an Punkt x = 0 die Tangente an, bekomme ich als Lösung y = 0 x + 0, also eine waagerechte Linie. Daran sehe ich, dass die Steigung "unterbrochen" wird, sie also nicht mehr streng monoton steigend ist.
Ich versteh dein Problem noch immer nicht. Zudem ist die Diskussion hier unter dieser Frage sowieso hinfällig, da es um eine reine zeichnerische Herleitung / Beurteilung geht. Wie du die ableiten willst, will ich mal sehen! :D
Okay, machen wir es so, Deine Antwort liest sich, als sei die Tangentensteigung eine notwendige Bedingung, anstatt einer hinreichenden.
Eine waagrechte Tangente schließt keine Monotonie aus, obwohl Du in der Antwort explizit sagst: die Steigung sei bei Monotonie stets positiv, oder negativ.
Bei x^3 ist die Tangentensteigung eben nicht immer positiv, trotzdem ist x^3 nicht nur monoton, sondern sogar streng monoton.
Oben links monoton fallend, oben rechts monoton steigend, unten links monoton steigend, unten rechts keine Monotonie.
Strenge Monotonie wird von keiner erfüllt, da Gleichheit im markierten Bereich vorkommt.
Allerdings lässt sich das aus dem Bild nicht perfekt ablesen, gerade oben links könnte auch strenge Monotonie erfüllen, je nachdem wo genau der Bereich beginnt und endet.
Das ist egal, der Knick erfüllt trotzdem die Monotoniebedingungen, denn f(x)<=f(x+dx) ist trotzdem erfüllt.
Allerdings impliziert die Monotonie z.B. keine Differenzierbarkeit.
Und auch keine Stetigkeit.
Es dauert ein wenig, bis man die verschiedenen Eigenschaften sauber außeinanderhalten kann.
Bei solchen Sachen ist es immer gut, wenn man die formalen Definitionen zur Hand hat, sonst vergißt man ein Detail, oder eien der Bedingungen etc. .
ja du hast Recht denke ich
aber unser lehrer sagte dass wir es nicht ableiten kann also keine monotonie
bei dem ersten bild ?