Polynome, Grenzwerte, Begrenztheit meines Hirns?
Guten Tag, könnte mir jemand diesen Beweis bis zum blauen Strich erklären? Ich bin vor allem an der Definition von c hängengeblieben und das daraus folgt, dass g(x) >= 1/2.
Erstens komme ich einfach nicht darauf, wie man das ersichtlich zeigt und zweitens interessiert mich, ob auch andere Zahlen für c verwendet werden dürften, z.B. c := max(1, 3k|a|....
oder c:= max(1, sqrt(456)|a|...., denn daraus würde ja auch folgen, dass lim Px = unendlich, weil x/3 oder x/sqrt(456) ebenfalls gegen unendlich gegen. Das würde für mich erklären, warum hier scheinbar willkürlich 2 gewählt wurde, wahrscheinlich um es nicht so verwirrend zu gestalten oder hat die 2 darüber hinaus noch eine wichtige Bedeutung für den Beweis selbst?
Danke
1 Antwort
Eigentlich ist das trivial. Der Summand des Polynoms mit dem größten Exponenten wiegt alle anderen Summanden auf und bestimmt somit allein über das Grenzwertverhalten.
Was c angeht. Das c muss nur so gewählt werden, dass man eben eine endliche Grenze hat, ab der die Bedingung gilt, siehe dafür auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole
Du kannst das c beliebig wählen, nur muss es groß genug sein.
Lies dir mal das zur Landaunotation durch, mein Hirn will mir das heute nicht soweit verarbeiten, dass ich es dir erklären könnte.
Achso.
Dann wurde mit x >= c = max(1, 2k|a_1|, ....
festgelegt, dass x positiv ist, deswegen und da der Faktor der stärksten Potenz 1 also positiv ist wird das Polynom g(x) positiv unendlich, selbst wenn die folgenden Potenzen negativ wären, weil die erste Potenz viel stärker wächst. Und daher kann man einfach die Abschätzung >= 1/2 machen, aber dann müsste ja auch >= jede andere beliebige positive Zahl gehen, oder?
Also z.B. g(x) >= 100000000 usw.
Nur frage ich mich warum dann überhaupt in der Abschätzung x >= c noch 2k|a_n| vorkommt. Es würde doch reichen zu schreiben x >= 1 oder halt eine andere passende Zahl.