Was heisst genau f_ɛ --> f gleichmaessig auf Ω fuer ɛ -->0?

Es geht hier nur um die Bedeutung. Ich kenn das nur bei Funktionenfolgen, oder meinen sie hier das:

Fuer alle 𝛅 > 0 existiert ein ɛ_0 > 0, sodass fuer alle ɛ < ɛ_0 gilt |f_ɛ(x) - f(x) | < 𝛅 fuer alle x aus Ω.

Im Skript steht einfach: Betrachte die konstante Funktion f mit Wert 𝜆 ≠ 0.Dann gilt fuer beliebiges ϕ ∈ C_0(Ω)

∥f − ϕ∥_L^∞ > λ/2, da ϕ kompakten Traeger hat.

Ich komm nicht auf dieses 𝜆/2.

Ich bekomm lediglich ∥f − ϕ∥_L^∞ ≥ |f(x)-ϕ(x)| ≥ |𝜆| - |ϕ(x)| fast ueberall.

Ich verstehe den Beweis leider nicht. Es ist immer Ω ⊂ R^n

1. Es beginnt schon damit, dass man aus der ersten Gleichung f_1 definieren kann. Ich verstehe da nichts, für mich macht nur Ω ∩ B_R(0) Sinn.
2. 5.1.14 ist der Satz von Lusin. Der besagt: Für alle ɛ >0 gibt es eine stetige Funktion 𝝋: Ω --> 𝕂 mit ||𝝋||_∞ ≤ ||f||_∞, sodass diese sich auf einer Nullmenge vom Maß höchstens ɛ unterscheiden.Daher finden sie dann 𝝋 mit kompakten Träger, s.d 5.35 gilt, das verstehe ich nicht. Wird dann als kompakte Menge {x ∈ Ω ∩ B_R(0): |𝝋(x)| ≤ k} genommen, sodass 𝝋 auf dem Komplement verschwindet?
3. Ich habe eigentlich noch mehr Fragen, wollte es aber erstmal dabei belassen, vielen Dank im Voraus.

Ich verstehe nicht so ganz den Beweis. Nehmen sie hier oBdA eine monoton wachsende Folge (x_n), oder wieso darf man das? Ich weiss nur, dass man eine Teilfolge existiert, die monoton wachsend ist.

Hallo, ich verstehe den Beweis leider nicht. Wofür wird sup _{x∈ Ω\N_1} |f(x)| = ||f||_{L^∞} benutzt?