Wieso ist C_0(Ω) dicht in L^p(Ω)?
Ich verstehe den Beweis leider nicht. Es ist immer Ω ⊂ R^n
- Es beginnt schon damit, dass man aus der ersten Gleichung f_1 definieren kann. Ich verstehe da nichts, für mich macht nur Ω ∩ B_R(0) Sinn.
- 5.1.14 ist der Satz von Lusin. Der besagt: Für alle ɛ >0 gibt es eine stetige Funktion 𝝋: Ω --> 𝕂 mit ||𝝋||_∞ ≤ ||f||_∞, sodass diese sich auf einer Nullmenge vom Maß höchstens ɛ unterscheiden.Daher finden sie dann 𝝋 mit kompakten Träger, s.d 5.35 gilt, das verstehe ich nicht. Wird dann als kompakte Menge {x ∈ Ω ∩ B_R(0): |𝝋(x)| ≤ k} genommen, sodass 𝝋 auf dem Komplement verschwindet?
- Ich habe eigentlich noch mehr Fragen, wollte es aber erstmal dabei belassen, vielen Dank im Voraus.
Lusin: Sei f: Ω --> 𝕂 eine messbare beschränkte Funktion.
Dann gibt es für alle ε > 0 eine stetige Funktion ϕ : Ω → 𝕂 mit ∥ϕ∥_∞ ≤ ∥f ∥_∞ s.d ϕ, f auf einer Menge von höchstens Maß ε sich unterscheiden.
1 Antwort
1. Alles was ausserhalb B_R(0) passiert kriegt man kleiner als ɛ oder von mir aus ɛ/3. Deshalb definiert man sich f_1 als mit f identisch innerhalb der Kugel, Null ausserhalb. Ein zweiter Schritt ist der Übergang zu f_1^(k), bei dem alle Punkte ausgelassen werden, an denen |f_k| grösser als k wird.
2. Weil man jetzt innerhalb der beschränkten (!) Kugel B_R(0) kann man das Theorem von Luzin anwenden. 𝝋 unterscheidet sich aber nicht auf einer Nullmenge von f_1, sondern auf einer Menge vom Mass höchstens ɛ (das ist nicht zwingend Mass Null).
Man nimmt hier allerdings aus ästhetischen Gründen nicht direkt ɛ, sondern (ɛ/6k)^p, damit am Ende der Berechnungen auf wundersame Weise die Summe aller Abstände in der Dreiecksungleichung gerade ɛ ergibt.
Es gilt nicht 𝝋 ∈ C_0(Ω), das wird nirgendwo behauptet. 𝝋 wird mit Null auf ganz Ω fortgesetzt, das muss natürlich nicht stetig sein. Es wird im weiteren hier auch keine Stetigkeit verwendet.
OK, das hatte ich übersehen ... Allerdings sehe ich weder, woraus die Stetigkeit folgen sollten noch wofür sie benötigt würde.
Ist das nicht das was man zeigen muss für die Dichtheit und wegen der Definition von C_0(Ω) = { f ∈ C(Ω): ∃ kompakte Menge K ⊂ Ω, s.d f = 0 auf Ω \ K}.
Ja, da hast du natürlich recht. Es wäre vielleicht hilfreich, wenn du eure Formulierung des Satz von Luzin (5.1.14) der Frage hinzufügen könntest, denn was ich im Web finde, liest sich etwas anders.
Ich find alles so unklar aufgeschrieben. Jedenfalls bei 5.35 hab ich die eine Menge, wovon man das Maß nimmt einfach A genannt und dann um auf 5.36 zu kommen das Integral in Ω\A und A aufgeteilt und benutzt |h| ≤ ||h||_L^∞.
Bei mir verschwindet der Integrand bei dem Integral über Ω \A. (Habs weiter aufgeteilt in [Ω ∩ B_R(0)] \ A und [Ω ∩ (B_R(0))^c] \ A)
Danke dafür. Ich sehe nicht, wie man da so schnell 𝝋 ∈ C_0(Ω) folgern könnte. Insofern sind wir schon zwei, die den Beweis nicht verstehen :-) Möglicherweise hat man hier an stetige Fortsetzung gedacht, ohne das explizit zu erwähnen, das wäre aber etwas Anderes, als einfach ausserhalb B_R(0) Null setzen.
Es ist ja 𝝋 stetig auf Ω ∩ B_R(0) und auf Ω ∩ [B_R(0)]^c. Folgt daraus nicht die Stetigkeit auf ganz Ω?
Mein letzter Post zu deiner Frage, dann soll es gut sein: Ich denke über ein Gegenbeispiel zu diesem Beweis, konkret zur Behauptung der Stetigkeit nach.
Sei Ω = R und f(x) = exp(-x²) falls x nicht rational ist, sonst gleich Null. Die stetige Approximation auf B_R(0) sollte exp(-x²), restringiert auf diese Kugel sein, die rationalen Zahlen haben Mass Null. Wenn ich diese Funktion mit Null ausserhalb der Kugel fortsetze, dann habe ich keine stetige Funktion mehr, denn es gibt 2 Sprungstellen.
Leider weiss ich auch nicht mehr weiter. Mein letzter Gedankengang war einfach anzumerken, dass auf Ω ∩ B_R(0) und Ω \ B_R(0) bereits Stetigkeit vorliegt. Und wegen Ω ∩ ∂ B_R(0) ⊂ Ω \ B_R(0) sollte auf ganz Ω Stetigkeit gewährleistet sein.
Ich möchte Dir erstmal danken. Leider habe ich noch viele Schwierigkeiten den Beweis zu verstehen.
Wieso gilt dann 𝝋 ∈ C_0(Ω). Ok wegen Lusin ist 𝝋 ∈ C_0(Ω ∩ B_R(0)). D.h wir finden eine kompakte Menge in B_R(0), sodass 𝝋 auf [Ω ∩ B_R(0)] \ K verschwindet. Zudem ist 𝝋 auf Ω ∩ B_R(0) stetig. Nun setzen sie 𝝋(x) = 0 auf Ω \ B_R(0), was auch stetig ist.
Mir fehlt da aber irgendwas. Ich würde eher 𝝋(x) = 0 auf Ω \ [B_R(0) ∩ Ω] definieren. Dann ergibt sich, denk ich, dass 𝝋 auf Ω \ K verschwindet, aber das mit der Stetigkeit krieg ich leider nicht hin.