Macht der Hinweis Sinn?
Man zeige, dass im Satz von Stone-Weierstraß auf die Kompaktheit von E nicht verzichtet werden kann.
Hinweis: Man waehle etwa E = R, nutze aus, dass C_b(R) = C_b(R; R) nicht separabel ist und konstruiere eine abzaehlbare, Punkte trennende Algebra C ⊂ Cb(R).
Ich habe ein Problem mit dem Hinweis. Nach Definition 15.1 ist doch C immer ueberabzaehlbar.
2 Antworten
Schon wieder Stone-Weierstraß..
Man soll halt zeigen, dass der Satz ohne Kompaktheit nicht geht. Also nimm E=R, weil das natürlich nicht kompakt ist. Dann guck dir Cb(R) an, also die beschränkt-stetigen Funktionen. Die sind übel viele – überabzählbar, eh klar. Und dann kommt der “Hinweis” um die Ecke und sagt: „Bau mal 'ne abzählbare Algebra C, die punktetrennend ist.“
Dann schmeißt man da irgendeine Algebra rein, z. B. Polynome mit rationalen Koeffizienten oder sowas in der Art. Die ist halt abzählbar und kann Punkte trennen, aber ist nicht dicht, weil Cb(R) eben nicht separabel ist. Das heißt, egal wie sehr du’s versuchst – mit dieser C kannst du nicht jede Funktion aus Cb(R) gleichmäßig approximieren. Bämm – Satz kaputt. Ohne Kompaktheit nix Dichte, nix Approximation, nix Stone-Weierstraß.
Kurz gesagt: Der Hinweis macht Sinn, aber ist halt wieder so 'n typischer Prof-Move, um uns zu zeigen, warum Kompaktheit “voll wichtig” ist.
Die muss doch 1 enthalten und damit R, oder sehe ich das falsch?
Ja
ABER
Eine Algebra 𝐶, die die konstante Funktion 1 enthält, enthält nicht notwendigerweise ganz 𝑅 als Funktionenraum, sondern nur die Funktion f(x)=1 (oder f(x)=q, Element Q) und die Kombinationen, die du über deine Basisfunktionen bauen kannst.
ok, ich habe (𝜶f) so interpretiert, dass 𝜶 einfach f skaliert.
Genau.
Wichtig nur
Du bekommst nur Vielfache der jeweiligen Zahlen, wie zum Beispiel rationale Zahlen, die Menge bleibt abzählbar.
aber die Skalare sind doch in R, das verwirrt mich ja uebel
Richtig.
Wenn du eine Algebra über R hast, dann sind ja die reellen Vielfachen von Funktionen drinnen.
Wenn du aber noch kleiner in der Betrachtung gehen willst, verbietet dir niemand, sie für Q zu betrachten.
Du willst ja die Abzählbarkeit gewährleisten.
Du darfst R betrachten, aber in der Suche nach Abzählbarkeit, kannst du auch "reinzoomen" und Q herausbetrachten als Teilalgebra.
Mir ist schon klar, dass das nur so gehen kann, aber das ist doch voll die Abschwaechung in der Definition. Man nimmt ja quasi K=Q.
Es wurde über eine Teilmenge geschrieben, daher ist es ein legitimer Beweis, aber frage gerne den Prof.
Alles klar, vielen Dank fuer deine Hilfe nochmals!
Kannst du mir einen Gefallen tun? Falls du ihn fragst, ob die Vorgehensweise legitim ist etc. kannst du mich auf dem Laufenden halten?
Ich habe ein Problem mit dem Hinweis. Nach Definition 15.1 ist doch C immer ueberabzaehlbar.
Wie kommst du darauf? Wieso muss eine Teilmenge einer überabzählbaren Menge überabzählbar sein?
Aber nach deren Definition kann ich doch keine abzaehlbare Algebra konstruieren