Wie soll ich (iii) bei der Definition einer Algebra verstehen?
Hallo, ich verstehe hier nicht genau, was genau (𝜶f) heisst. Nehmen wir z.B E=K=R. C_b(R) ist die Menge der stetigen, beschraenkten Funktionen von R nach R. Dann ist (𝜶f) ja eine Abbildung darin. Das heisst aber jetzt doch nicht, dass mit 1 ∈ C, alle reellen Vielfachen in C sind, oder?
2 Antworten
1 ∈ C steht für die Funktion, die alle Elemente von E auf die 1 ∈ K abbildet.
(𝜶f) verstehe ich als skalares Vielfaches von f, also die Funktion, die alle Elemente von K auf das jeweils 𝜶-fache des Funktionswerts von f abbildet. Kann man eigentlich auch als 𝜶*f schreiben, wobei der * für die Verknüpfung in der Algebra steht und das 𝜶 als die Funktion, die alle Elemente von E auf 𝜶 ∈ K abbildet.
In dieser Algebra hat man also die Verknüpfung * und die skalare Multiplikation.
Mit 1 ∈ C sind alle reellen Vielfachen davon in C (das sind aber Funktionen, keine Skalare).
C heißt Punkte trennend, falls es zu je zwei Punkten x, y ∈ E mit x ≠ y ein f ∈ C
gibt mit f (x)≠f (y).
Ich sehe dein Problem. Vielleicht willst du das als eigene Frage einstellen (mit vollständigem Aufgabentext).
Natürlich - jede konstante Funktion
ist stetig und beschränkt…
ich muss irgendwie eine abzaehlbare, punkttrennende Algebra C ⊂ Cb(R) konstruieren, aber nach dieser Definition kann C nicht abzaehlbar sein