Mathematische Beschreibungen im Sachzusammenhang Exponentialfunktionen?

Guten Tag,

ich habe bei dieser Aufgabe die Lösungen zu der e) nicht verstanden, folgendes steht in der Lösung:

Hier wurde also die Formel für die Halbwertszeit angewandt. Nur verstehe ich nicht, weshalb genau dieses ln(1/2) letztlich der entscheidende Wert ist, um die 50 Prozent zu finden. Das man es nicht einfach durch zwei teilen kann ist mir klar, da käme ja ein kleinerer Wert raus, ich leite mir das Graphisch her, aber gibt es auch eine rechnerische Herleitung? Warum man bsp.weise bei Hanna die -5 braucht, habe ich mir auch im folgenden überlegt:

Aber warum dieses ln.. ? Über eine logische, am besten rechnerische Erklärung äre ich sehr erfreut!

lg

Dies ist die Aufgabe, um die es sich handelt.

Answer 1

[Rammstein53]

Die Differenz zum Ruhepuls beträgt bei Hanna

$D(t) = 110 * {e}^{-0.2*t}$

Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Differenz am grössten:

$D(0) = 110 * {e}^{-0.2*0} = 110 * 1 = 110$

Die Frage lautet, wann diese Differenz 50% erreicht, also die Hälfte von 110, nämlich 55. Dazu folgender Ansatz:

$110 * {e}^{-0.2*t} = 55$

Offensichtlich muss für die entsprechende Zeit t

${e}^{-0.2*t} = \frac{1}{2}$

gelten, denn

$110*\frac{1}{2} = 55$

Zur Lösung von

${e}^{-0.2*t} = \frac{1}{2}$

wendet man auf beiden Seiten die Umkehrfunktion von e, nämlich ln() an:

$ln ( {e}^{-0.2*t} ) = ln ( \frac{1}{2} )$

Auf diese Weise bleibt auf der linken Seite nur noch der Exponent stehen:

$-0.2*t = ln ( \frac{1}{2} )$

Nach t auflösen:

$t = - ln ( \frac{1}{2} ) * \frac{1}{0.2}$

Das ist identisch mit:

$t = - ln ( \frac{1}{2}) * 5$

Comments

[Luisss29]

Vielen Dank! Kann ich mir auch als allgemeine Regel merken, dass man bei der Halbwertszeit immer mit ln(1/2) multipliziert?

[Rammstein53]

@Luisss29

"Immer mit ln(1/2) multiplizieren" ist zu allgemein gehalten. Das hängt von der Aufgabenstellung ab.

[Luisss29]

@Rammstein53

Ok, vielen Dank. Ihre Herleitung ist sehr einleuchtend

[Rammstein53]

@Luisss29

Danke