Reihen auf Konvergenz?
Hey Leute, mir fällt es etwas schwer eine gute Lösung für diese beiden Reihen zu finden, die meine Aussage unterstützen. Das was ich geschrieben habe, ist bestimmt nicht gut bewiesen. Wir dürfen bisher den Integraltest nicht verwenden leider.
Direkte Frage, was soll das eigentlich sein?
Ich weiß es nicht, wie man das am besten machen kann. Ich hab versucht das Minoranten und Majorantenkreterium zu nutzen und so daraus Widersprüche zu machen, aber das ist falsch.
Ich habe immernoch keinen blassen Schimmer, was mir derart Gleichungen überhaupt sagen sollen?
Alles gut! Problem gelöst. Danke!
3 Antworten
Bei der harmonischen Reihe erhält man zum Nachweis der Divergenz eine Minorante, wenn man die Reihe in Blöcke zerlegt, die jeweils bei den Indizes 2^n enden, also
1, 1/2, 1/3 + 1/4, 1/5 + ... + 1/8 usw.
Die Blöcke werden immer länger, 1, 1, 2, 4, ... Summanden
Minorante ist dann gegeben durch
1, 1/2, 1/4 + 1/4, 1/8 + ... + 1/8 usw.
Das läuft auf das sogenannte Verdichtungskriterium hinaus. Entscheidend ist, ob die Reihe über 2^n a_(2^n) konvergiert oder nicht.
Bei der ersten hast du Divergenz, weil die Reihe über 2^n / ( 2^n ln(2^n) ) divergiert.
Bei der zweiten hast du Konvergenz, weil die Reihe über 2^n / ( 2^n ln(2^n)^2 ) konvergiert.
Wenn du nochmal die Blöcke anschaust (mal ohne die führende 1),
1/2, 1/3 + 1/4, 1/5 + ... + 1/8 usw.
und die Minorante
1/2, 1/4 + 1/4, 1/8 + ... + 1/8 usw.
dann kann man zusammenfassen
1 * 1/2 + 2 * 1/4 + 4 * 1/8
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + .....
was offenbar divergiert
Genauso machst du es bei n log(n) im Nenner
Perfekt! Ich habs verstanden. Es hat also aber gar nicht mit dem Minoranten oder Majorantenkriterium zu tun. Das Verdichtungskreterium ist aber von großer Nutze hier. Danke sehr.
Tipp:
Isteine Minorante?
Ja dann muss meine Aussage gelten, aber wie haben Sie das so geschätzt? Man könnte auch da oben im Zähler 2^n nehmen, da 1/log(2^n) bleibt und es divergiert und 1/log(2^n)^2 oder die Form im Allgemein 1/k^2 konvergiert
Ob eine Reihe kleiner ist, als eine divergente Reihe, sagt nichts über die Konvergenz aus.
Ja das Majoranten und Minorantenkriterium könnte man nicht anwenden und deswegen ist die Reihe divergent, aber inwiefern das richtig sei und ob man das Kreterium nutzen kann, aber besser als ich es getan hab, ist doch die Frage.
Nein, dein Fehler ist, nicht, dass man es nicht anwenden kann, sondern, dass du es nicht verstanden hast
Doch doch! Aber das sind so Gedankenstöße, als ich damit probiert hab und dann hab ich festgestellt es nutzt mir gar nicht 😅
Du hast nicht mal genug ahnung, um zu verstehen, dass du keine Ahnung hast.
Häh als ob. Der Satz besagt, wenn es ne konvergene Minorante gibt, die größer als unsere Reihe ist, dann folgt unsere Reihe konvergiert und wenn es ne divergente Majorante gibt, die kleiner als unsere Reihe ist, dann folgt die Reihe konvergiert nicht absolut. Wenn ich auch was Falsches geschrieben hab, können Sie mich auch korregieren.
Der Satz besagt, wenn es ne konvergene Minorante gibt, die größer als unsere Reihe ist,
Und schon hier zeigt sich, dass du nicht mal verstanden hast, was eine minorante ist. Und das selbe gilt für Majoranten
Ja das hatten wir in der VL. Dabei müsste diese neue Funktion langsamer konvergieren, wenn man ihre Werte betrachtet, aber ich verstehe immernoch nicht, warum das gilt und wieso das mit dem Verdichtungskreterium zu tun hat. Woher weiß man, dass die neuen Funktionen konvergieren oder devergieren. Soweit ich weiß (und das nicht mal in der VL gesagt), dass 1/ln(k) dervergiert, aber aus der reihe von 1/k^2 weiß man es konvergiert, weil man nen Potenz von größer 1 hat. Leider ist mein Wissen nicht genug dafür.