Die Wahrscheinlichkeit p_n, dass eine Familie genau n Kinder hat, sei
für n ≥ 1 und p_0 = 1−ap(1+p+p^2 +···), wobei p ∈ (0,1) und 0 < a ≤ (1−p)/p. Ferner sei für Familien mit der Kinderzahl n die Verteilung der Geschlechter der Kinder die Gleichverteilung.
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie für k ≥ 1, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie genau k Jungen hat, gegeben ist durch
Was habe ich bisher herausgefunden?Ich habe bisher:
Wir wissen auch schon, dass diese Formel in die obige umgewandelt werden soll. Leider hänge ich auf dem Schlauch. Man kann umschreiben:
Außerdem kann man
setzen. Dann erhält man x^n und kann darauf die geometrische Reihe verwenden.
Weiter gilt:
Meine letzte Idee ist, dass man die Summe ableiten kann und auch den Bruch
ableiten kann, damit man erhält:
Leider weiß ich ab hier nicht mehr weiter. Gegeben mit den ganzen Informationen, die ich hier bereitstelle, kann mir da jemand weiterhelfen? Hat jemand eine Idee? Ich wäre euch sehr verbunden.
Beste Grüße
Euer Mathestudent
