Konvergenzbeweis?

Hallo,

Ich muss beweisen, dass (n+1)²/4n² gegen 1/4 konvergiert.

Ich habe das ganze jetzt zu 2n+1/4n² < ε umgeformt, finde jedoch kein passendes N, sodass für alle n>N die Ungleichung gilt.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

[eterneladam]

Ich verstehe dich so, dass du

(n²+2n+1)/(4n²) = 1/4 + (2n+1)/(4n²) berechnet hast.

Nun soll (2n+1)/(4n²) <epsilon für geeignetes n werden.

Dazu kann man so weiter grob abschätzen:

(2n+1)/(4n²) < 4n/(4n²) = 1/n.

Mann kann also (zu gegebenen epsilon) n > 1/epsilon wählen.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

ausmultiplizieren des Zählers:

(n²+2n+1)/(4n²).

Zähler und Nenner jeweils durch n² teilen:

(1+2/n+1/n²)/4.

Geht n gegen unendlich, gehen 2/n und 1/n² gegen Null und es bleibt 1/4 als Grenzwert.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[schaafus]

Die Umformung ist falsch

(n+1)^2 = n^2+2n+1 dividierst du nun durch 4n^2, so erhältst du 1/4 + 1/(2n)+1/4n^2 das konvergiert gegen 1/4