Beweisen des Grenzwerts einer Folge?
Hallo ich hänge seit Längerem an folgender Aufgabe:
Sei an eine Folge mit der Eigenschaft, dass sowohl a(2n) als auch a(2+1) gegen a konvergiert.
Jetzt muss ich mit dem Epsilon Kriterium beweisen, dass dann an gegen a konvergiert.
1 Antwort
Ein Ansatz für dich:
Sei Epsilon größer 0.
Wende nun das Epsilon Kriterium ein Mal auf die Folge a_2n und einmal auf die Folge a_2n+1 an, um jeweils N zu bestimmen.
Füre nun beides zusammen.
Ist das so richtig:
Sei also Epsilon > 0 beliebig aber fest gewählt. Da a(2n) gegen a konvergiert, gibt es ein Index N1, so dass für alle n ≥ N1 gilt:
|a(2n) - a| < Epsilon/2
Analog dazu gibt es ein Index N2, so dass für alle n ≥ N2 gilt:
|a(2n+1) - a| < Epsilon/2
Wählen wir nun N = max{2N1, 2N2+1}, so folgt für alle n ≥ N:
n ≥ N ≥ 2N1 und n ≥ N ≥ 2N2+1
Daraus folgt:
2n ≥ 2N1 und 2n+1 ≥ 2N2+1
Somit gilt für alle n ≥ N:
|an - a| = |a(2n) - a(2n+1)| ≤ |a(2n) - a| + |a(2n+1) - a| < Epsilon/2 + Epsilon/2 = Epsilon
Dies zeigt, dass an gegen a konvergiert, da für jedes beliebig kleine positive Epsilon > 0 ein Index N gefunden werden kann, so dass die Abweichung zwischen an und a für alle n ≥ N kleiner als Epsilon ist.