Ich verstehe nicht wie ich vorgehen muss, da ich nicht weiß ob die Funktion f(x) oder f(y) lautet?
Danke!
2 Antworten
Mit einer Parametrisierung x = cos(t)^3, y = sin(t)^3, kriegt man die gebrochenen Exponenten weg und es ist x^(2/3) + y^(2/3) = 1.
Ein Viertelbogen kann dann über das Kurvenintegral von 0 bis Pi/2 von
1 * ( x'(t)^2 + y'(t)^2 )^(1/2)
berechnet werden
x'(t) = 3 * cos(t)^2 * (-sin(t)), y'(t) = 3 * sin(t)^2 * cos(t).
x'(t)^2 + y'(t)^2 = 9 * sin(t)^2 * cos(t)^2 * ( cos(t)^2 + sin(t)^2 )
Bleibt also zu integrieren;
3 * sin(t) * cos(t), das ergibt
3/2 sin^2(t)
in den Grenzen 0 bis Pi/2,
macht 3/2.
Die gesamte Kurvenlänge ist das vierfache, also 6.
Du kannst das als Kurve parametrisieren. Das (skalare) Kurvenintegral über die Norm der Paramterisierung mit Grenzen entsprechend der von dir gewählten Parametrisierung ist die Bogenlänge (da die Funktion, die wir integrieren 1 ist, für die Bogenlänge)
Hattet ihr denn schon skalare Kurvenintegrale? Oder was ist überhaupt dein Stand in Mathe?
Nein eigentlich nicht so explizit :/ Es ist eine Aufgabe aus einer Altklausur. Könnten sie mir die Schritte oder Ansätze angeben, sodass ich versuche damit weiterzuarbeiten :o
Ich würde die Kurve als Gamma(t) = (t, (1-t^(2/3))^(3/2))^T parametrisieren, und dann die euklidische Norm von diesem Vektor von 0 bis 1 integrieren und aufgrund der Symmetrie mit 2 multiplizieren.
Ich verstehe wirklich nicht, was ich machen soll