wie kann ich beweisen?
Der Punkt E liege im Innern des spitzwinkligen Dreiecks ABC.
Beweisen Sie , dass mit | < BAC | = alpha und | < BEC | = epsilon für jeden
solchen Punkt E die Ungleichung epsilon > alpha gilt !
4 Antworten
Betrachte die Skizze:
Die grünen Winkel sind, weil E im Inneren des Dreiecks liegt, immer kleiner als die roten. Es gilt:
BAC=180-rot(1)-rot(2) und BEC=180-grün(1)-grün(2)
-> Da -rot(1)-rot(2)<-grün(1)-grün(2) -> BAC < BEC
Die Antwort von Denkratterer ist haltlos, ich zeige dir warum:
In Dreieck ABE: ∠ABE, ∠BAE (α) und ∠BEA
In Dreieck CBE: ∠CB_E, ∠BCE (ε) und ∠BEC
Es beginnt hier, die komplett falschen Winkel wurden als Epsilon und Alpha bezeichnet.
In Dreieck ABE:
∠ABE + ∠BAE (α) + ∠BEA = 180° (1)
In Dreieck CBE:
∠CBE + ∠BCE (ε) + ∠BEC = 180° (2)
Das ist nur Herumgeplänkel um die Tatsache, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt.
Da E im Innern des Dreiecks ABC liegt, ist der Winkel ∠BEA kleiner als der Winkel ∠CBE.
Der Winkel BEA ist größer als CBE?
Damit ist auch
∠BEA < ∠CBE (3)
falsch.
Addiere nun die Gleichungen (1) und (2):
∠ABE + ∠BAE (α) + ∠BEA + ∠CBE + ∠BCE (ε) + ∠BEC = 360°
Das ist einfach wieder "Zwei Dreiecke haben die Innenwinkelsumme 360"
Da der Winkel ∠ABE und der Winkel ∠BEC eine Strecke bilden, beträgt ihre Winkelsumme 180 Grad. Daher:
∠BAE (α) + ∠BEA + ∠CBE + ∠BCE (ε) = 180°
Der Winkel ABE und BEC können keine Strecke bilden. Es sind Winkel? 180 betragen sie auch nicht, wie folgendes Bild (ABE in rot, BEC in grün)
Selbst wenn EBA gemeint wäre, gilt das nicht.
∠BAE (α) + ∠BEA + ∠CBE + ∠BCE (ε) = 180°
Erinnere dich an die Ungleichung (3): ∠BEA < ∠CBE. Wenn wir ∠CBE - ∠BEA durch δ ersetzen, erhalten wir:
∠BAE (α) + δ + ∠BCE (ε) = 180°
Da δ > 0 ist, folgt:
Das sind bloß falsche Schlussfolgerungen aus obigen Fehlern
∠BAE (α) + ∠BCE (ε) < 180°
Da in Dreieck ABC der Winkel α kleiner als der Winkel ε ist, folgt:
ε > α
Daher gilt die Ungleichung ε > α für jeden Punkt E, der im Innern des spitzwinkligen Dreiecks ABC liegt.
Das hier sagt bloß: "Da der Winkel alpha kleiner als Epsilon ist, ist Epsilon größer als Alpha". Das ist nicht mehr als die Ausgangshypothese die zu beweisen war, nicht aber bewiesen wurde.
Man könnte doch aber einfach sagen, dass rot=grün, wenn E auf der Geraden durch AC oder AB liegt. Da das nicht der Fall ist, ist grün kleiner als der rote Winkel.
Jetzt gilt: grün(1)+grün(2)=a, rot(1)+rot(2)=b, b>a
und 180-a=BEC, 180-b=BAC
also: 180-a>180-b <-> BEC > BAC
Klar geht das so auch. Hauptsache, es wird erwähnt, dass die grünen Winkel schon einzeln kleiner sind. Wer das nicht selbst sieht, ist bei der Summenungleichung schnell ratlos.
Nur für diesen Fall habe ich meinen Kommentar geschrieben.
Verwende folgenden Satz:
Der längeren von zwei Seiten liegt stets der größere der entsprechenden Innenwinkel gegenüber.
....
Diese zwei Seiten seien nun BE bzw. CE, die stets kürzer sind als BA bzw. CA, somit müssen die beiden Winkel <CBE bzw. <BCE kleiner sein als <CBA bzw. <BCA. Da die Winkelsumme in jedem Dreieck 180 Grad beträgt folgt daraus dass, BEC > BAC
Hallo Aurel. Stimmst du mir zu, dass diese eine Antwort von Denkratterer stuss ist?
Habe nicht alles durchgelesen, aber den Text, den du im Kommentar zu denkratterer zurecht kritisierst, dieser Text ist wirklich Stuss.
Ich habe meine Antwort jetzt überarbeitet. Kannst du dir die Fehleraufarbeitung anschauen? Ich glaube ich habe alles gezeigt, Geometrie war aber nie meine Stärke.
Um diese Ungleichung zu beweisen, benutzen wir das Prinzip der Winkelsumme in einem Dreieck. Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180 Grad (oder π in Bogenmaß).
Da der Punkt E im Innern des spitzwinkligen Dreiecks ABC liegt, können wir zwei neue Dreiecke bilden: Dreieck ABE und Dreieck CBE. Die Winkel in diesen Dreiecken sind wie folgt:
- In Dreieck ABE: ∠ABE, ∠BAE (α) und ∠BEA
- In Dreieck CBE: ∠CB_E, ∠BCE (ε) und ∠BEC
Wir wissen, dass die Winkelsumme in jedem Dreieck 180 Grad beträgt, daher gilt:
In Dreieck ABE:
∠ABE + ∠BAE (α) + ∠BEA = 180° (1)
In Dreieck CBE:
∠CBE + ∠BCE (ε) + ∠BEC = 180° (2)
Da E im Innern des Dreiecks ABC liegt, ist der Winkel ∠BEA kleiner als der Winkel ∠CBE. Daher gilt:
∠BEA < ∠CBE (3)
Addiere nun die Gleichungen (1) und (2):
∠ABE + ∠BAE (α) + ∠BEA + ∠CBE + ∠BCE (ε) + ∠BEC = 360°
Da der Winkel ∠ABE und der Winkel ∠BEC eine Strecke bilden, beträgt ihre Winkelsumme 180 Grad. Daher:
∠BAE (α) + ∠BEA + ∠CBE + ∠BCE (ε) = 180°
Erinnere dich an die Ungleichung (3): ∠BEA < ∠CBE. Wenn wir ∠CBE - ∠BEA durch δ ersetzen, erhalten wir:
∠BAE (α) + δ + ∠BCE (ε) = 180°
Da δ > 0 ist, folgt:
∠BAE (α) + ∠BCE (ε) < 180°
Da in Dreieck ABC der Winkel α kleiner als der Winkel ε ist, folgt:
ε > α
Daher gilt die Ungleichung ε > α für jeden Punkt E, der im Innern des spitzwinkligen Dreiecks ABC liegt.
MfG
Denkratterer
Ja, man kann auch den Außenwinkelsatz verwenden, um die Ungleichung ε > α zu beweisen.
Der Außenwinkelsatz besagt, dass der Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der beiden gegenüberliegenden Innenwinkel ist.
Betrachte das Dreieck ABE und den Außenwinkel ∠CBE:
∠CBE = ∠BAE (α) + ∠BEA (4)
Jetzt betrachten wir das Dreieck CBE und den Außenwinkel ∠ABE:
∠ABE = ∠BCE (ε) + ∠BEC (5)
Da E im Innern des Dreiecks ABC liegt, ist der Winkel ∠BEA kleiner als der Winkel ∠CBE. Daher gilt:
∠BEA < ∠CBE (6)
Von Gleichung (4), haben wir:
∠CBE - ∠BEA = α
Da ∠BEA < ∠CBE (6), erhalten wir:
α > 0
Jetzt benutzen wir Gleichung (5):
∠ABE - ∠BEC = ε
Da ∠ABE, ∠BEC und ∠BAE (α) Winkel in Dreieck ABC sind und ∠BAE (α) der kleinste Winkel ist, folgt:
ε > α
Daher gilt die Ungleichung ε > α für jeden Punkt E, der im Innern des spitzwinkligen Dreiecks ABC liegt, wenn man den Außenwinkelsatz verwendet. Also defakte das selbe Ergebnis. MfG
Sie haben Recht, dass beim Rechenweg ein kleiner Fehler aufgetreten ist, Ergebnis stimmt trotzdem. Wenn Sie denken dass das Ergebnis falsch ist, sagen Sie mir das richtige Ergebnis. Unterstellungen wie z.B Chat-GPT zu verwenden empfinde ich als Beleidigung und weise ich zurück. Wobei es trotzdem legitim wäre Programme wie Chat-GPT zu verwenden. Sie tun hier auch auf neunmalklug. Deshalb würden mich Ihre Qualifikationen interessieren. LG.
Ich tue nicht auf neunmalklug, ich versuche Fragesteller vor solchen Antworten wie diesen zu schützen. Keine logische Schlussfolgerung, fehlerhafte Ausgangsannahmen, alles was schiefgehen kann bei einem Beweis, passiert in deinem Text.
In Ordnung sehe ich zwar anders aber freut mich wenn Sie das besser können. Auch toll dass Sie einige Stellen von Pi auswendig gelernt haben.
∠BAE (α) + ∠BCE (ε) < 180°
Da in Dreieck ABC der Winkel α kleiner als der Winkel ε ist, folgt:
ε > α
Daher gilt die Ungleichung ε > α für jeden Punkt E, der im Innern des spitzwinkligen Dreiecks ABC liegt.
Ich vermute ChatGPT und nicht selber gedacht? Das ist Vollstuss!
Danke, aber ich bin fähig selber zu denken, erläutere mir wo mein Fehler ist. MfG
Ich habe dir den Fehler gezeigt. Du sagst: Weil a kleiner als e ist, folgt e>a, was so ist wie wenn ich sage: Die Sonne ist gelb, weil die Sonne gelb ist.
Dann bezeichnest du im Text konstant BAE als alpha, nicht BAC.
Das sind ChatGPT-typische Fehler. Oder Fehler, die Leute begehen, die sich nicht auskennen. Such es dir aus.
Beweisen Sie mir dass das Ergebnis falsch ist, habe nochmal händisch nachgerechnet sollte passen, oder ich habe einen gravierenden Denkfehler. Aber ich sage, wenn Sie es besser können beweisen Sie es mir in dem Sie den Lösungsweg schicken. LG.
Es geht nicht darum, dass dein Ergebnis falsch ist, es geht darum, dass dein Weg inhaltlich weniger Beweis als heiße Luft ist. Es geht hier auch gar nicht um das richtige Ergebnis. Wenn in der Aufgabe steht, "beweise, dass ... gilt" und du im letzten Satz einfach genau das nochmal schreibst, hast du nichts bewiesen.
Da E im Innern des Dreiecks ABC liegt, ist der Winkel ∠BEA kleiner als der Winkel ∠CBE.
Wieso gilt das denn? :D Sag mir das mal.
Passt gute Nacht, ich mit meinen 44 Jahren darf mal einen Fehler machen, Sie mit Ihren 18 Jahren müssen es ja können.
Ich will dich nicht dumm aussehen lassen. Ich editiere meine Antwort und zeige die Fehler auf. Wenn du das wirklich ohne ChatGPT gemacht hast, dann hoffe ich, dass du dir das durchliest und daraus lernst, denn darum geht es in der Wissenschaft.
Es ist jetzt überarbeitet. Schau es dir gerne an. Vielleicht findest du ja auch bei meiner Ausführung einen Fehler.
Da der Winkel ∠ABE und der Winkel ∠BEC eine Strecke bilden, beträgt ihre Winkelsumme 180 Grad.
Auch das ist schlichtweg falsch, wie ein einfaches Gegenbeispiel zeigt.
Das innere des Dreieck ABC ist definiert durch die Schnittmenge des Inneren der Winkel ABC und ACB.
Da her gilt BCE < ACB und CBE < ABC
Über die Innenwinkelsumme kannst Du so den Beweis vervollständigen.
Das fällt so ein bisschen vom Himmel. Ich mach's mal etwas ausführlicher:
Es gilt rot(1)>grün(1) und rot(2)>grün(2), da E im Inneren von ABC liegt.
Damit: